Von r zu R²

In einer Gruppe von Schülerinnen und Schülern ist die Korrelation zwischen täglicher Bildschirmzeit ($x$, Stunden) und Schlafstunden ($y$) gleich $r = -0{,}7$. Bestimme $R^2$ und deute es.

Quadriere den Korrelationskoeffizienten: $R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49$ = $R^2 = 0{,}49$

Schreibe es als Prozent: $0{,}49 = 49\,\%$ = 49 %

Deute im Sachzusammenhang: 49 % der Streuung der Schlafstunden werden durch den linearen Zusammenhang mit der Bildschirmzeit erklärt. Die übrigen 51 % kommen von anderen Faktoren. = 49 % erklärt, 51 % nicht erklärt

Answer: $R^2 = 0{,}49$: 49 % der Streuung des Schlafs werden durch den linearen Zusammenhang mit der Bildschirmzeit erklärt. Durch das Quadrieren fällt das Minuszeichen weg, deshalb ist $R^2$ nie negativ.

R² aus den Quadratsummen

Eine Eisdiele beschreibt den Tagesumsatz mit einer Regressionsgeraden in Abhängigkeit von der Temperatur. Die Gesamtstreuung des Umsatzes ist $SS_{\text{tot}} = 80$, die Summe der quadrierten Residuen ist $SS_{\text{res}} = 12$. Bestimme $R^2$.

Bestimme den nicht erklärten Anteil: $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{12}{80} = 0{,}15$ = 15 % bleiben übrig

Ziehe von 1 ab: $R^2 = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = $R^2 = 0{,}85$

Deute das Ergebnis: 85 % der Streuung des Tagesumsatzes werden durch den linearen Zusammenhang mit der Temperatur erklärt = 85 % erklärt

Answer: $R^2 = 1 - \frac{12}{80} = 0{,}85$, die Gerade erklärt also 85 % der Streuung des Eisumsatzes.

Von R² zurück zu r

Eine Regression des Gebrauchtwagenpreises ($y$, in Tausend €) auf das Alter ($x$, in Jahren) liefert $\hat{y} = -1{,}5x + 20$ und $R^2 = 0{,}64$. Bestimme den Korrelationskoeffizienten $r$.

Ziehe die Wurzel aus $R^2$: $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ = $|r| = 0{,}8$

Wähle das Vorzeichen nach der Steigung: Die Steigung $-1{,}5$ ist negativ: Ältere Autos sind billiger, also ist die Korrelation negativ = $r$ ist negativ

Schreibe $r$ auf: $r = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8$ = $r = -0{,}8$

Answer: $r = -0{,}8$. Die Wurzel liefert $0{,}8$, und die negative Steigung gibt das Vorzeichen an. $r$ hat immer dasselbe Vorzeichen wie die Steigung.

R² aus Daten berechnen

Fünf Schülerinnen und Schüler haben Lernstunden ($x$) und Testergebnis ($y$) notiert: $(1, 50)$, $(2, 60)$, $(3, 80)$, $(4, 70)$, $(5, 90)$. Die Regressionsgerade ist $\hat{y} = 9x + 43$. Berechne $R^2$.

Bestimme den Mittelwert von $y$ und $SS_{\text{tot}}$: $\bar{y} = \frac{50+60+80+70+90}{5} = 70$ $SS_{\text{tot}} = (-20)^2 + (-10)^2 + 10^2 + 0^2 + 20^2 = 400 + 100 + 100 + 0 + 400$ = $SS_{\text{tot}} = 1000$

Bestimme die vorhergesagten Werte und die Residuen: $\hat{y} = 52, 61, 70, 79, 88$ Residuen $y - \hat{y}$: $-2, -1, 10, -9, 2$ = Residuen: $-2, -1, 10, -9, 2$

Bestimme $SS_{\text{res}}$: $4 + 1 + 100 + 81 + 4$ = $SS_{\text{res}} = 190$

Berechne $R^2$: $R^2 = 1 - \frac{190}{1000} = 1 - 0{,}19 = 0{,}81$ = $R^2 = 0{,}81$

Answer: $R^2 = 0{,}81$: 81 % der Streuung der Testergebnisse werden durch den linearen Zusammenhang mit den Lernstunden erklärt. Probe: $r = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$, genau wie im ersten Streudiagramm dieser Lektion.

Hohes R², falsches Modell

Die Daten $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$, $(4, 16)$, $(5, 25)$ haben die Regressionsgerade $\hat{y} = 6x - 7$. Berechne $R^2$ und entscheide, ob eine Gerade ein gutes Modell ist.

Bestimme $SS_{\text{tot}}$: $\bar{y} = 11$, also $SS_{\text{tot}} = 100 + 49 + 4 + 25 + 196$ = $SS_{\text{tot}} = 374$

Bestimme die Residuen und $SS_{\text{res}}$: $\hat{y} = -1, 5, 11, 17, 23$, Residuen $2, -1, -2, -1, 2$ $SS_{\text{res}} = 4 + 1 + 4 + 1 + 4$ = $SS_{\text{res}} = 14$

Berechne $R^2$: $R^2 = 1 - \frac{14}{374} \approx 0{,}96$ = $R^2 \approx 0{,}96$

Betrachte das Muster der Residuen: Vorzeichen: $+, -, -, -, +$. Die Residuen bilden eine U-Form statt einer zufälligen Streuung = Die Daten sind gekrümmt

Answer: $R^2 \approx 0{,}96$ ist sehr hoch, aber die U-förmigen Residuen zeigen, dass die Daten einer Kurve folgen ($y = x^2$). Ein hohes $R^2$ allein beweist nicht, dass das lineare Modell richtig ist: Prüfe immer die Residuen.

Mistake: $r$ als Prozent verwenden: "$r = 0{,}5$, also werden 50 % der Streuung erklärt"

Why: Der Anteil der erklärten Streuung kommt von $R^2$, nicht von $r$. Du musst zuerst quadrieren.

Correct: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$, es werden also nur 25 % der Streuung erklärt.

Mistake: Das Vorzeichen vergessen, wenn man von $R^2$ zurück zu $r$ geht

Why: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ ist immer positiv, aber $r$ kann negativ sein. $R^2$ verbirgt die Richtung des Zusammenhangs.

Correct: Nimm das Vorzeichen der Steigung: Ist die Steigung negativ, dann ist $r = -\sqrt{R^2}$, zum Beispiel $r = -0{,}7$.

Mistake: Glauben, ein hohes $R^2$ beweise, dass $x$ die Ursache von $y$ ist

Why: $R^2$ misst nur, wie gut eine Gerade zu den Daten passt. Eine Störvariable (Drittvariable) kann sowohl $x$ als auch $y$ beeinflussen.

Correct: Sage "81 % der Streuung von $y$ werden durch den linearen Zusammenhang mit $x$ erklärt", nie "$x$ verursacht 81 % von $y$". Für Kausalität braucht man ein kontrolliertes Experiment.

Mistake: Glauben, ein hohes $R^2$ bedeute, dass eine Gerade das richtige Modell ist

Why: Auch gekrümmte Daten können $R^2 = 0{,}96$ ergeben. $R^2$ zeigt keine Muster in den Residuen.

Correct: Sieh dir immer das Residuendiagramm an. Zufällige Streuung spricht für die Gerade; eine U-Form oder ein anderes Muster bedeutet, dass ein anderes Modell besser passt.

Sportanalyse

Trainerinnen und Trainer vergleichen Trainingsdaten mit Wettkampfergebnissen, um zu sehen, wie viel des Leistungsunterschieds mit dem Training zusammenhängt.

Ist die Korrelation zwischen wöchentlichen Trainingsstunden und 100-m-Sprintzeit $r = -0{,}85$, dann ist $R^2 = 0{,}7225$: Etwa 72 % der Streuung der Sprintzeiten werden durch den linearen Zusammenhang mit den Trainingsstunden erklärt.

Immobilienpreise

Immobilienanalystinnen und -analysten bauen Regressionsmodelle für Hauspreise und beurteilen mit $R^2$, ob ein Modell gut genug für Bewertungen ist.

Ein Modell des Preises in Abhängigkeit von der Wohnfläche mit $R^2 = 0{,}70$ erklärt 70 % der Preisstreuung; die übrigen 30 % kommen von Lage, Zustand und anderen Faktoren.

Medizin und Dosierung

In klinischen Studien prüfen Forschende, wie stark die Dosis eines Medikaments mit der Änderung eines Messwerts wie dem Blutdruck zusammenhängt.

Geht eine höhere Dosis mit niedrigerem Blutdruck einher (negative Steigung) und ist $R^2 = 0{,}36$, dann ist $r = -0{,}6$: ein mäßiger negativer linearer Zusammenhang.

Q: Kann R² negativ sein?

A: Nicht bei einer Regressionsgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate wie in dieser Lektion: $SS_{\text{res}}$ ist nie größer als $SS_{\text{tot}}$, deshalb bleibt $R^2$ zwischen $0$ und $1$. Auch das Quadrieren von $r$ ergibt immer eine Zahl, die $0$ oder größer ist.

Q: Was ist ein gutes R²?

A: Das hängt vom Fachgebiet ab. In Physikexperimenten sind Werte über $0{,}95$ üblich. Wenn man Menschen untersucht (Verhalten, Gesundheit, Wirtschaft), kann schon ein $R^2$ von $0{,}30$ nützlich sein, weil Menschen von vielen Faktoren beeinflusst werden.

Q: Ist R² immer gleich r²?

A: Ja, bei der einfachen linearen Regression mit einer erklärenden Variable, um die es in dieser Lektion geht. Bei mehreren erklärenden Variablen gibt es kein einzelnes $r$, aber $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ funktioniert weiterhin.

Q: Warum sagt R² nichts über die Richtung des Zusammenhangs?

A: Weil das Quadrieren das Vorzeichen entfernt: $r = 0{,}8$ und $r = -0{,}8$ ergeben beide $R^2 = 0{,}64$. Die Richtung erkennst du an der Steigung der Regressionsgeraden oder an $r$ selbst.