Spannweite und Interquartilsabstand

Lerne, wie man die Streuung von Daten mit Spannweite und IQR misst.

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Definition

Spannweite und Interquartilsabstand (IQR) sind Streuungsmaße, die uns sagen, wie weit die Datenwerte verteilt sind.

Spannweite

Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Wert:
Spannweite=Maximum−Minimum\text{Spannweite} = \text{Maximum} - \text{Minimum}

Interquartilsabstand (IQR)

Der IQR misst die Streuung der mittleren 50% der Daten:
IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1
Wobei:
  • Q1Q_1 (Erstes Quartil) = Median der unteren Hälfte
  • Q3Q_3 (Drittes Quartil) = Median der oberen Hälfte
Der IQR ist zuverlässiger als die Spannweite, weil er extreme Werte (Ausreißer) ignoriert.

Probier es gleich aus

Was ist die Spannweite dieses Datensatzes: 8,12,15,19,238, 12, 15, 19, 23?

Lösungsbeispiele

Finde die Spannweite dieser Testergebnisse: 72,85,91,68,77,83,9572, 85, 91, 68, 77, 83, 95
1

Identifiziere den Maximalwert

Betrachte alle Werte: 72,85,91,68,77,83,9572, 85, 91, 68, 77, 83, 95 → Maximum =95= 95
2

Identifiziere den Minimalwert

Das kleinste Ergebnis in der Menge → Minimum =68= 68
3

Berechne die Spannweite

Spannweite=95−68\text{Spannweite} = 95 - 68 → Spannweite=27\text{Spannweite} = 27

Häufige Fehler

Die Daten nicht ordnen, bevor man Quartile findet

Warum es falsch ist: Quartile basieren auf der Position in geordneten Daten. Ungeordnete Daten ergeben falsche Q1- und Q3-Werte.

Richtig: Sortiere die Daten immer zuerst vom kleinsten zum größten Wert, dann finde den Median und die Quartile.

Den Median bei der Suche nach Q1 und Q3 in beide Hälften einbeziehen

Warum es falsch ist: Bei einer ungeraden Anzahl von Datenpunkten sollte der Median aus beiden Hälften ausgeschlossen werden.

Richtig: Bei Datensätzen mit ungerader Größe teile die Daten ohne den Median auf, dann finde Q1 und Q3 aus diesen Hälften.

Spannweite und IQR verwechseln

Warum es falsch ist: Sie messen verschiedene Dinge: Die Spannweite verwendet Extremwerte, der IQR verwendet Quartile.

Richtig: Spannweite == Max −- Min. IQR =Q3−Q1= Q_3 - Q_1. Beide messen die Streuung, aber der IQR konzentriert sich auf die mittleren 50%.

Interaktive Visualisierung

Boxplot-Ersteller

12Q1: 16,525Q3: 3342
Min
12
Q1
16,5
Median
25
Q3
33
Max
42
IQR (Q3 - Q1):16,5
Spannweite:30
Sortierte Daten:
12; 15; 18; 22; 25; 28; 31; 35; 42
n = 9

Klicke auf Teile des Boxplots, um zu erfahren, was sie darstellen.

Boxplot-Ersteller

20Q1: 2325,5Q3: 2930
Min
20
Q1
23
Median
25,5
Q3
29
Max
30
IQR (Q3 - Q1):6
Spannweite:10
Ausreißer:100
Sortierte Daten:
20; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 100
n = 8

Klicke auf Teile des Boxplots, um zu erfahren, was sie darstellen.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

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Was ist die Spannweite dieses Datensatzes: 8,12,15,19,238, 12, 15, 19, 23?

Warum es wichtig ist

Das Verständnis der Datenstreuung ist im Alltag wichtig:
  • Wetter: Eine Stadt mit Temperaturen von 10°C10°C bis 15°C15°C hat beständiges Wetter, während −5°C-5°C bis 35°C35°C extreme Schwankungen zeigt
  • Sport: Konstante Athleten haben einen kleinen IQR bei ihren Ergebnissen; inkonstante haben große Streuungen
  • Qualitätskontrolle: Hersteller nutzen den IQR, um sicherzustellen, dass Produkte einheitlich sind
  • Noten: Lehrer analysieren die Streuung von Testergebnissen, um die Klassenleistung zu verstehen
Die Spannweite gibt einen schnellen Überblick, aber der IQR zeigt die typische Variation ohne durch Ausreißer verzerrt zu werden.

Anwendungen im echten Leben

Gehaltsvergleiche

Unternehmen nutzen den IQR, um typische Gehaltsspannen zu verstehen, ohne durch Führungsgehälter verzerrt zu werden.

Beispiel:

Wenn Gehälter in einem Unternehmen von 30.000€ bis 500.000€ reichen, aber der IQR 35.000€ bis 55.000€ beträgt, verdienen die meisten Mitarbeiter in diesem engeren Bereich.

1Probiere es selbst

Mitarbeitergehälter (in Tausend): 32, 38, 42, 45, 48, 52, 58, 250. Finde den IQR.

Wie groß ist der Interquartilsabstand dieser Gehälter?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde zuerst Q1Q_1 und Q3Q_3, dann berechne Q3−Q1Q_3 - Q_1:

Sportliche Leistung

Trainer analysieren die Konstanz von Athleten mithilfe des IQR von Leistungskennzahlen.

Beispiel:

Die 100m-Zeiten eines Sprinters: 11,2;11,4;11,3;11,5;11,4;11,6;11,311{,}2; 11{,}4; 11{,}3; 11{,}5; 11{,}4; 11{,}6; 11{,}3 Sekunden. Ein kleiner IQR zeigt konstante Leistung an.

2Probiere es selbst

Die Punkte pro Spiel eines Basketballspielers: 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30. Finde die Spannweite und den IQR.

Wie groß sind Spannweite und IQR?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne beide Streuungsmaße:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Spannweite == Maximum −- Minimum (misst die Gesamtstreuung)
  • 2IQR =Q3−Q1= Q_3 - Q_1 (misst die Streuung der mittleren 50%)
  • 3Q1Q_1 ist der Median der unteren Hälfte; Q3Q_3 ist der Median der oberen Hälfte
  • 4Der IQR ist resistent gegen Ausreißer; die Spannweite nicht
  • 5Eine kleinere Spannweite oder ein kleinerer IQR zeigt an, dass die Datenpunkte näher beieinander liegen (weniger Variabilität)

Häufig gestellte Fragen

Der IQR ignoriert Extremwerte (Ausreißer), die die Spannweite aufblähen können. Er konzentriert sich darauf, wo die mittleren 50% der Daten liegen, und gibt ein besseres Bild der typischen Streuung.
Der IQR ignoriert Extremwerte (Ausreißer), die die Spannweite aufblähen können. Er konzentriert sich darauf, wo die mittleren 50% der Daten liegen, und gibt ein besseres Bild der typischen Streuung.
Ein IQR von 0 bedeutet, dass die mittleren 50% deiner Daten alle denselben Wert haben. Dies zeigt sehr wenig Variabilität im zentralen Teil deines Datensatzes an.
Bei einer ungeraden Anzahl von Datenpunkten schließe den Median aus beiden Hälften aus. Bei einer geraden Anzahl teile die Daten genau in der Mitte und beziehe alle Werte ein.

Glossar

Spannweite
Die Differenz zwischen dem Maximum und Minimum in einem Datensatz
Interquartilsabstand (IQR)
Die Differenz zwischen dem dritten Quartil (Q3Q_3) und ersten Quartil (Q1Q_1), die die Streuung der mittleren 50% der Daten darstellt
Quartil
Werte, die einen geordneten Datensatz in vier gleiche Teile teilen
Q1 (Erstes Quartil)
Der Median der unteren Hälfte der Daten; 25% der Werte liegen darunter
Q3 (Drittes Quartil)
Der Median der oberen Hälfte der Daten; 75% der Werte liegen darunter
Ausreißer
Ein Datenpunkt, der sich deutlich von anderen Werten im Datensatz unterscheidet
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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