Kotangens-Graphen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist die Periode von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Periode von ist , im Gegensatz zu Sinus und Kosinus, die die Periode haben. Das liegt daran, dass Kotangens einen vollständigen Zyklus zwischen aufeinanderfolgenden Asymptoten durchläuft.
2.
Wo sind die vertikalen Asymptoten von ?
1. a) für ganze Zahlen
2. b) für ganze Zahlen
3. c) für ganze Zahlen
4. d) für ganze Zahlen
Lösung: für ganze Zahlen
Da , ist es undefiniert wo , was bei für jede ganze Zahl auftritt. Dies unterscheidet sich von Tangens, der Asymptoten bei hat.
3.
Was ist ?
Lösung: 1
Da und , haben wir .
4.
Was ist ?
Lösung: 0
. Dies ist die Nullstelle der Kotangensfunktion.
5.
Steigt oder fällt die Kotangensfunktion innerhalb jeder Periode?
1. a)Steigt
2. b)Steigt zuerst, dann fällt
3. c)Fällt zuerst, dann steigt
4. d)Fällt
Lösung: Fällt
Kotangens fällt von nach innerhalb jeder Periode. Dies ist das Gegenteil von Tangens, der steigt. Bei nähert sich der Wert , geht bei durch 0 und nähert sich wenn .
6.
Was ist die Periode von ? Gib deine Antwort als Bruch von an (z.B. 'pi/2' für ).
Lösung: pi/3
Für ist die Periode . Hier ist , also ist die Periode . Der Graph durchläuft 3 Zyklen im gleichen Intervall, in dem der einfache Kotangens 1 durchläuft.
7.
Was ist die Phasenverschiebung von ?
1. a)Keine Phasenverschiebung
2. b) nach links
3. c) nach rechts
4. d) nach rechts
Lösung: nach rechts
In der Form verschiebt sich der Graph um nach rechts. Hier ist , also verschiebt sich der Graph um Einheiten nach rechts. Alle Asymptoten verschieben sich von nach .
8.
Finde die Periode und Asymptoten von .
Lösung: pi/2, x = n*pi/2
1. Was ist der Koeffizient von im Kotangens? 2
2. Wende die Periodenformel an: Periode = . Was ist die Periode? pi/2
3. Die Asymptoten treten auf, wo . Löse nach . x = n*pi/2
9.
Identifiziere die Transformationen in .
Lösung: vertical stretch by 3, vertical shift down 2
1. Was macht der Koeffizient 3 vor cot? vertikale Streckung um 3
2. Was macht die -2 am Ende? vertikale Verschiebung um 2 nach unten
3. Ändert sich die Periode? nein
10.
Was ist die erste positive Asymptote von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Phasenverschiebung von nach rechts verschiebt alle Asymptoten von nach . Für verschiebt sich die Asymptote von nach , was die erste positive Asymptote ist.
11.
Für finde die Periode, Phasenverschiebung und die erste positive Asymptote.
Lösung: pi/3, pi/3 right, pi/3
1. Schreibe um als . Was ist die Phasenverschiebung? pi/3
2. Was ist die Periode? (Verwende Formel ) pi/3
3. Der einfache Kotangens hat eine Asymptote bei . Nach der Phasenverschiebung von nach rechts, wo ist die erste positive Asymptote? pi/3
12.
Was ist der Wertebereich von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Der Wertebereich von ist alle reellen Zahlen . Das Addieren von 5 verschiebt jede Ausgabe um 5 nach oben, aber da der Wertebereich bereits alle reellen Zahlen war, ergibt das Addieren von 5 zu jedem Wert immer noch alle reellen Zahlen. Der Wertebereich bleibt .
13.
Wenn Asymptoten bei hat, was ist ?
Lösung: 4
Die Asymptoten sind bei , also ist die Periode . Da Periode = , haben wir , also .
14.
Finde die Gleichung einer Kotangensfunktion mit Periode , Phasenverschiebung nach rechts und vertikaler Verschiebung um 3 nach oben.
Lösung: y = cot(0.5x - pi/4) + 3
1. Wenn Periode = und Periode = , was ist ? 0.5
2. Für Phasenverschiebung nach rechts mit , was ist in ? pi/4
3. Was wird für eine vertikale Verschiebung von 3 nach oben addiert? 3
15.
Welche Gleichung stellt eine Kotangensfunktion mit Asymptoten bei dar?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Asymptoten haben einen Abstand von , also ist die Periode . Da Periode = , haben wir , was ergibt. Die erste Asymptote ist bei , nicht 0, aber für treten Asymptoten bei auf, d.h. . Für erhalten wir , was übereinstimmt!