Phasenverschiebung

Eine **Phasenverschiebung** (**Verschiebung in x-Richtung**) verschiebt eine Sinus- oder Kosinuskurve nach links oder nach rechts, ohne ihre Form zu verändern. In der Form $$y = \sin(B(x - C)) \quad \text{oder} \quad y = \cos(B(x - C))$$ ist die **Phasenverschiebung $C$**: - $C > 0$: Der Graph wandert um $C$ Einheiten nach **rechts** - $C < 0$: Der Graph wandert um $|C|$ Einheiten nach **links** **Warum bedeutet ein Minus rechts?** Der normale Sinus beginnt eine Periode dort, wo sein Argument $0$ ist. Bei $\sin(x - C)$ ist das Argument $x - C$, und das ist bei $x = C$ gleich $0$. Jeder Punkt der Kurve kommt also $C$ Einheiten später an, das heißt weiter rechts. Zum Beispiel ist $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ der Graph von $y = \sin(x)$, um $\frac{\pi}{3}$ nach rechts verschoben, und $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ ist um $\frac{\pi}{4}$ nach links verschoben. ## Achtung: zuerst $B$ ausklammern Steht die Gleichung in der Form $y = \sin(Bx - c)$, dann ist die Verschiebung **nicht** $c$. Klammere $B$ aus: $$\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right) \quad \Rightarrow \quad \text{Phasenverschiebung} = \frac{c}{B}$$ Beispiel: $\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ ist um $\frac{\pi}{4}$ nach rechts verschoben, nicht um $\frac{\pi}{2}$. ## Verschiebung und Periode sind zwei verschiedene Dinge | | Was es verändert | Formel | |---|---|---| | $B$ | die Breite einer Periode | Periode $= \frac{2\pi}{|B|}$ | | $C$ | wo die Periode beginnt | Verschiebung $= C$ | Eine Periode von $y = \sin(B(x - C))$ beginnt bei $x = C$ und endet bei $x = C + \frac{2\pi}{B}$. Eine Verschiebung um eine ganze Periode ergibt wieder denselben Graphen: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$. ## Sinus und Kosinus sind Verschiebungen voneinander $$\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad \sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$$ Der Kosinus ist ein Sinus, der um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschoben ist. In der vollständigen Form $y = A\sin(B(x - C)) + D$ kennst du $A$ und $B$ aus der Lektion über Amplitude und Periode, $C$ ist diese Lektion, und $D$ (die Verschiebung in y-Richtung) kommt als Nächstes.

Ein Sinus nach rechts verschoben

Beschreibe den Graphen von $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ im Vergleich zu $y = \sin(x)$. Wo beginnt die erste Periode und wo liegt ihr Maximum?

Vergleiche mit $y = \sin(B(x - C))$: $x - \frac{\pi}{4}$ hat schon die Form $1 \cdot (x - C)$ = $B = 1$, $C = \frac{\pi}{4}$

Lies die Richtung ab: $C$ ist positiv = Verschiebung um $\frac{\pi}{4}$ nach rechts

Finde den Beginn der Periode: Das Argument ist $0$, wenn $x - \frac{\pi}{4} = 0$ = Die Periode beginnt bei $x = \frac{\pi}{4}$

Verschiebe das Maximum: $\sin(x)$ hat sein Maximum bei $\frac{\pi}{2}$, also addiere $\frac{\pi}{4}$: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$ = Maximum bei $x = \frac{3\pi}{4}$

Answer: Der Graph ist $y = \sin(x)$, um $\frac{\pi}{4}$ nach rechts verschoben. Die erste Periode beginnt bei $x = \frac{\pi}{4}$, und das Maximum $1$ liegt bei $x = \frac{3\pi}{4}$.

Ein Plus bedeutet links

Bestimme die Phasenverschiebung von $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ und die neue Lage des Maximums, das $\cos(x)$ bei $x = 0$ hat.

Schreib das Plus als Minus: $x + \frac{\pi}{3} = x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{3}$

Lies die Richtung ab: $C$ ist negativ = Verschiebung um $\frac{\pi}{3}$ nach links

Verschiebe das Maximum: $0 + \left(-\frac{\pi}{3}\right)$ = Maximum bei $x = -\frac{\pi}{3}$

Answer: Die Phasenverschiebung ist $-\frac{\pi}{3}$: Der Kosinus wandert um $\frac{\pi}{3}$ nach links, und sein Maximum liegt jetzt bei $x = -\frac{\pi}{3}$.

Erst B ausklammern, dann die Verschiebung ablesen

Bestimme die Phasenverschiebung und die Periode von $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$. Wo beginnt und endet die erste Periode?

Klammere $B = 2$ aus: $2x - \frac{\pi}{2} = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ = $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

Lies die Verschiebung ab: $C = \frac{\pi}{4}$, positiv = $\frac{\pi}{4}$ nach rechts (nicht $\frac{\pi}{2}$)

Bestimme die Periode: $\frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2}$ = Periode $= \pi$

Beginn und Ende einer Periode: Beginn bei $C = \frac{\pi}{4}$, Ende bei $\frac{\pi}{4} + \pi$ = Von $x = \frac{\pi}{4}$ bis $x = \frac{5\pi}{4}$

Answer: Phasenverschiebung $\frac{\pi}{4}$ nach rechts, Periode $\pi$. Eine Periode reicht von $x = \frac{\pi}{4}$ bis $x = \frac{5\pi}{4}$.

Ein Kosinus mit B und einem Plus

Bestimme die Phasenverschiebung und die Periode von $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Klammere $B = 3$ aus: $3x + \frac{\pi}{2} = 3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, denn $\frac{\pi}{2} \div 3 = \frac{\pi}{6}$ = $y = \cos\left(3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$

Schreib es mit einem Minus: $x + \frac{\pi}{6} = x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{6}$

Lies die Richtung ab: $C$ ist negativ = $\frac{\pi}{6}$ nach links

Bestimme die Periode: $\frac{2\pi}{3}$ = Periode $= \frac{2\pi}{3}$

Answer: Der Graph ist $y = \cos(3x)$, um $\frac{\pi}{6}$ nach links verschoben, mit der Periode $\frac{2\pi}{3}$.

Der Kosinus als verschobener Sinus

Finde einen Wert $C$ mit $-\pi \le C \le \pi$, sodass $\sin(x - C) = \cos(x)$ für jedes $x$ gilt.

Vergleiche die Maxima: $\cos(x)$ hat sein Maximum bei $x = 0$, $\sin(x)$ bei $x = \frac{\pi}{2}$ = Der Hochpunkt des Sinus muss von $\frac{\pi}{2}$ nach $0$ wandern

Bestimme Größe und Richtung: Von $\frac{\pi}{2}$ nach $0$ sind es $\frac{\pi}{2}$ nach links = $C = -\frac{\pi}{2}$

Schreib die Gleichung: $\sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ = $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Prüfe einen Punkt: Bei $x = 0$: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 = \cos(0)$ = Es passt

Answer: $C = -\frac{\pi}{2}$, also $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Eine Verschiebung des Sinus um $\frac{3\pi}{2}$ nach rechts funktioniert auch, weil sie sich um genau eine Periode $2\pi$ unterscheidet.

Eine Phasenverschiebung sagt dir, **wann** ein sich wiederholendes Muster passiert, nicht nur wie groß oder wie schnell es ist: - **Gezeiten**: Zwei Häfen haben Gezeiten mit derselben Periode, aber das Hochwasser kommt zu verschiedenen Zeiten. Der Unterschied ist eine Phasenverschiebung. - **Strom**: Die drei Leiter einer Drehstromleitung führen dieselbe Sinusspannung, jeweils um ein Drittel der Periode verschoben. - **Kopfhörer mit Geräuschunterdrückung**: Sie spielen das Geräusch um eine halbe Periode verschoben noch einmal ab, sodass sich die beiden Wellen auslöschen. - **Jahreszeiten**: Der wärmste Tag des Jahres kommt etwa einen Monat nach dem längsten Tag. Die Temperaturkurve ist die Tageslichtkurve mit einer Phasenverschiebung. - **Musik und Schall**: Zwei Lautsprecher, die denselben Ton phasenverschoben spielen, können den Klang an manchen Stellen abschwächen. Wenn du die Phasenverschiebung richtig liest (Richtung und Größe), kannst du den nächsten Hochpunkt vorhersagen.

Mistake: $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ als Verschiebung nach links lesen

Why: Das Minuszeichen sieht so aus, als müsste es nach links zeigen, wie auf dem Zahlenstrahl. Die Kurve erreicht aber jeden Wert später, nämlich wenn $x - \frac{\pi}{3}$ den alten Wert von $x$ hat.

Correct: Minus in der Klammer bedeutet rechts: $\sin(x - C)$ wandert um $C$ nach rechts, $\sin(x + C)$ um $C$ nach links.

Mistake: Sagen, die Verschiebung von $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ sei $\frac{\pi}{2}$

Why: Die Zahl $\frac{\pi}{2}$ wird von $2x$ abgezogen, nicht von $x$. Die Verschiebung gehört aber zu $x$ allein.

Correct: Klammere $B$ aus: $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$. Die Verschiebung ist $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ nach rechts.

Mistake: Denken, eine Phasenverschiebung ändere die Periode oder die Höhe

Why: Wenn du einen Graphen zur Seite schiebst, wird er nicht gestreckt. Nur $B$ ändert die Periode und nur $A$ die Amplitude.

Correct: Nach einer Phasenverschiebung hat die Kurve dieselbe Form, Periode und Amplitude. Nur die Stelle, an der jede Periode beginnt, ändert sich.

Mistake: Denken, $y = \sin(x - 2\pi)$ sei ein anderer Graph als $y = \sin(x)$

Why: Der Sinus wiederholt sich alle $2\pi$. Eine Verschiebung um eine ganze Periode legt jede Welle genau auf die nächste.

Correct: Verschiebungen, die sich um eine ganze Periode unterscheiden, ergeben denselben Graphen: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ und $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$.

Hochwasser vorhersagen

Hafenmeister beschreiben den Wasserstand mit einem verschobenen Sinus. Die Phasenverschiebung sagt ihnen, wann das Wasser den mittleren Stand durchläuft, und daraus finden sie das Hochwasser.

Ist der Wasserstand $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ Meter über dem mittleren Stand, mit $t$ in Stunden nach Mitternacht, dann steigt das Wasser bei $t = 2$, also um 2:00 Uhr, durch den mittleren Stand.

Wechselstrom

Stromnetze in Europa arbeiten mit 50 Hz. Zwei Spannungen mit derselben Frequenz können gegeneinander versetzt sein, und Ingenieure messen diesen Unterschied als Phasenverschiebung in Sekunden.

Die Spannung $V_1 = \sin(100\pi t)$ hat die Periode $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ Sekunde. Eine zweite Spannung $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ erreicht jeden Hochpunkt etwas später.

Kopfhörer mit Geräuschunterdrückung

Ein Mikrofon nimmt das Geräusch auf, und der Kopfhörer spielt dieselbe Welle um eine halbe Periode verschoben ab. Wo das Geräusch steigt, fällt die Kopie, und beide löschen sich aus.

Für das Geräusch $y = \sin(x)$ ist die Kopie $y = \sin(x - \pi)$, und das ist gleich $-\sin(x)$. Ihre Summe ist überall $0$.

Bei $y = \sin(B(x - C))$ und $y = \cos(B(x - C))$ ist die Phasenverschiebung $C$

Minus in der Klammer bedeutet rechts, Plus bedeutet links: $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ wandert um $\frac{\pi}{4}$ nach links

Bei $\sin(Bx - c)$ zuerst $B$ ausklammern: Die Verschiebung ist $\frac{c}{B}$, nicht $c$

Die Periode $\frac{2\pi}{|B|}$ und die Amplitude ändern sich beim Verschieben nicht

Eine Periode beginnt bei $x = C$ und endet bei $x = C + \frac{2\pi}{B}$; eine Verschiebung um eine ganze Periode ergibt denselben Graphen

Der Kosinus ist ein verschobener Sinus: $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Q: Warum heißt es Phasenverschiebung?

A: Die Phase ist die Stelle innerhalb einer Periode (Beginn, Hochpunkt, Nullstelle, Tiefpunkt). Eine Phasenverschiebung verschiebt jeden Punkt der Periode um denselben Betrag, sodass die ganze Welle früher oder später beginnt.

Q: Ist die Phasenverschiebung von $\sin(2x - \pi)$ gleich $\pi$ oder $\frac{\pi}{2}$?

A: Sie ist $\frac{\pi}{2}$ nach rechts. Klammere $2$ aus: $\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Manche Bücher nennen $\pi$ den Phasenwinkel, aber der Graph wandert auf der $x$-Achse um $\frac{\pi}{2}$.

Q: Kann ein Graph mehr als eine richtige Phasenverschiebung haben?

A: Ja. Wenn du eine ganze Periode addierst oder abziehst, entsteht derselbe Graph. Also sind $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ und $\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)$ gleich. Meist gibt man die betragsmäßig kleinste Verschiebung an.

Q: Spielt die Reihenfolge von Strecken und Verschieben eine Rolle?

A: Ja. $\sin(2(x - 1))$ und $\sin(2x - 1)$ sind verschieden: Der erste Graph ist um $1$ nach rechts verschoben, der zweite nur um $\frac{1}{2}$. Wenn du die Funktion als $\sin(B(x - C))$ schreibst, vermeidest du die Verwechslung.

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Phasenverschiebung

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Trigonometrie / Trigonometrische Graphen

Phasenverschiebung

Lerne, wie eine Phasenverschiebung Sinus- und Kosinuskurven nach links oder rechts verschiebt, warum ein Minus rechts bedeutet und wie du die Verschiebung in sin(Bx - c) findest.

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