Alle vier Parameter ablesen

Bestimme für $y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1$ Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, Mittellinie und Wertebereich.

Mit der allgemeinen Form vergleichen: Vergleiche mit $y = A\sin(B(x - C)) + D$ = $A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1$

Amplitude und Periode: Amplitude $= |3| = 3$, Periode $= \frac{2\pi}{2} = \pi$ = Amplitude $3$, Periode $\pi$

Phasenverschiebung und Mittellinie: $C = \frac{\pi}{6} > 0$, also Verschiebung nach rechts; $D = -1$ = $\frac{\pi}{6}$ nach rechts, Mittellinie $y = -1$

Wertebereich: $[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]$ = $[-4, 2]$

Answer: Amplitude $3$, Periode $\pi$, Phasenverschiebung $\frac{\pi}{6}$ nach rechts, Mittellinie $y = -1$, Wertebereich $[-4, 2]$.

Erst B ausklammern, dann die Verschiebung ablesen

Bestimme die Phasenverschiebung und die Periode von $y = \sin(3x - \pi)$.

$B = 3$ ausklammern: $3x - \pi = 3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ = $y = \sin(3(x - \frac{\pi}{3}))$

Phasenverschiebung ablesen: $C = \frac{\pi}{3} > 0$ = $\frac{\pi}{3}$ nach rechts

Periode bestimmen: $\frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{3}$ = Periode $\frac{2\pi}{3}$

Prüfen, wo die Periode beginnt: Die Periode beginnt dort, wo die Klammer $0$ ist: $3x - \pi = 0$ = $x = \frac{\pi}{3}$, passt

Answer: Die Phasenverschiebung beträgt $\frac{\pi}{3}$ nach rechts (nicht $\pi$), die Periode ist $\frac{2\pi}{3}$.

Zeichnen mit den fünf Schlüsselpunkten

Zeichne eine Periode von $y = 2\sin(2(x - \frac{\pi}{4})) + 1$.

Parameter ablesen: Vergleiche mit $y = A\sin(B(x - C)) + D$ = $A = 2,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{4},\ D = 1$

Periode und Schritt: Periode $= \frac{2\pi}{2} = \pi$, Schritt $= \frac{\pi}{4}$ = Schritt $\frac{\pi}{4}$

Die fünf x-Werte: Beginne bei $x = C = \frac{\pi}{4}$ und addiere viermal $\frac{\pi}{4}$ = $\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \pi,\ \frac{5\pi}{4}$

Die fünf y-Werte (Sinus-Muster): Mittellinie $1$, Hochpunkt $1 + 2 = 3$, Mittellinie $1$, Tiefpunkt $1 - 2 = -1$, Mittellinie $1$ = $1,\ 3,\ 1,\ -1,\ 1$

Eintragen und verbinden: Zeichne eine glatte Welle durch die fünf Punkte und setze sie nach beiden Seiten fort = Wertebereich $[-1, 3]$

Answer: Eine Periode reicht von $x = \frac{\pi}{4}$ bis $x = \frac{5\pi}{4}$ durch $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 3)$, $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, $(\pi, -1)$ und $(\frac{5\pi}{4}, 1)$. Der Wertebereich ist $[-1, 3]$.

Ein gespiegelter Kosinus

Zeichne eine Periode von $y = -3\cos(\frac{1}{2}(x + \pi)) + 2$.

Parameter ablesen: $x + \pi = x - (-\pi)$ = $A = -3,\ B = \frac{1}{2},\ C = -\pi,\ D = 2$

Periode und Schritt: Periode $= \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$, Schritt $= \frac{4\pi}{4} = \pi$ = Schritt $\pi$

Die fünf x-Werte: Beginne bei $x = -\pi$ und addiere viermal $\pi$ = $-\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi$

Die fünf y-Werte: Kosinus beginnt mit einem Hochpunkt, aber $A < 0$ kehrt das um: Tiefpunkt, Mittellinie, Hochpunkt, Mittellinie, Tiefpunkt mit Minimum $2 - 3$ und Maximum $2 + 3$ = $-1,\ 2,\ 5,\ 2,\ -1$

Definitions- und Wertebereich: $[D - |A|,\ D + |A|] = [2 - 3,\ 2 + 3]$ = Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich $[-1, 5]$

Answer: Schlüsselpunkte $(-\pi, -1)$, $(0, 2)$, $(\pi, 5)$, $(2\pi, 2)$, $(3\pi, -1)$. Der Wertebereich ist $[-1, 5]$.

Die Reihenfolge der Transformationen

Beschreibe in der richtigen Reihenfolge, wie aus $y = \sin(x)$ der Graph von $y = 2\sin(3x + \frac{\pi}{2}) - 1$ entsteht, und bestimme den ersten Hochpunkt rechts vom Beginn der Periode.

$B = 3$ ausklammern: $3x + \frac{\pi}{2} = 3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{6}$

Änderungen in x-Richtung (innen): Zuerst mit dem Faktor $3$ stauchen (Periode $\frac{2\pi}{3}$), dann verschieben = $\frac{\pi}{6}$ nach links

Änderungen in y-Richtung (außen): Zuerst mit $2$ strecken (Amplitude $2$), dann verschieben = $1$ nach unten, Mittellinie $y = -1$

Erster Hochpunkt: Beginn $x = -\frac{\pi}{6}$, Schritt $= \frac{2\pi/3}{4} = \frac{\pi}{6}$, also Hochpunkt bei $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$ mit $y = -1 + 2$ = $(0, 1)$

In der Ausgangsgleichung prüfen: $2\sin(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{2}) - 1 = 2 \cdot 1 - 1$ = $1$, stimmt

Answer: In x-Richtung mit $3$ stauchen, $\frac{\pi}{6}$ nach links verschieben, in y-Richtung mit $2$ strecken, $1$ nach unten verschieben. Die Periode beginnt bei $x = -\frac{\pi}{6}$, der erste Hochpunkt ist $(0, 1)$.

Mistake: Die Phasenverschiebung von $y = \sin(2x - \pi)$ als $\pi$ ablesen

Why: Die Verschiebung ist die Zahl, die von $x$ selbst abgezogen wird, nicht von $2x$. $B$ multipliziert die ganze Klammer und staucht damit auch die Verschiebung.

Correct: Erst $B$ ausklammern: $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$, also $\frac{\pi}{2}$ nach rechts.

Mistake: $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ nach rechts verschieben

Why: In der allgemeinen Form steht $x - C$. Hier ist $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$, also ist $C = -\frac{\pi}{3}$ negativ.

Correct: Ein Pluszeichen in der Klammer bedeutet eine Verschiebung nach links: $\frac{\pi}{3}$ nach links.

Mistake: Die Schlüsselpunkte bei $x = 0$ beginnen oder mit einer ganzen Periode als Schritt

Why: Nach einer Phasenverschiebung beginnt die Periode nicht mehr bei $0$, und die fünf Punkte müssen EINE Periode in vier gleiche Teile teilen.

Correct: Beginne bei $x = C$ und gehe in Schritten von $\frac{\text{Periode}}{4}$. Bei Periode $\pi$ ist der Schritt $\frac{\pi}{4}$.

Mistake: Bei $A < 0$ die übliche Reihenfolge von Hoch- und Tiefpunkt beibehalten

Why: Ein negatives $A$ spiegelt die Welle an ihrer Mittellinie, jeder Hochpunkt wird zum Tiefpunkt und umgekehrt.

Correct: Für $y = -2\sin(x)$ lautet das Muster Mittellinie, Tiefpunkt, Mittellinie, Hochpunkt, Mittellinie. Die Amplitude bleibt $2$.

Höhe im Riesenrad

Die Höhe einer Gondel im drehenden Riesenrad ist ein transformierter Kosinus: Die Radmitte liefert die Mittellinie, der Radius die Amplitude.

Ein Rad mit Radius 20 m, dessen Mitte 22 m über dem Boden liegt, dreht sich alle 30 Minuten einmal. Eine Gondel, die unten startet, hat nach $t$ Minuten die Höhe $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ Meter, die Periode ist $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$.

Gezeiten im Hafen

Hafenmeister sagen die Wassertiefe mit einem Sinusmodell voraus, dessen Periode etwa 12 Stunden beträgt, damit Schiffe wissen, wann sie einlaufen können.

Die Tiefe $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ Meter, $t$ Stunden nach Mitternacht, hat die Mittellinie 4 m, die Amplitude 1,5 m und die Periode $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ Stunden. Die Tiefe schwankt zwischen 2,5 m und 5,5 m.

Stunden mit Tageslicht

Die Zahl der Tageslichtstunden folgt über das Jahr einer Sinuswelle mit einer Periode von 365 Tagen. Die Mittellinie liegt bei 12 Stunden, der Tageslänge zur Tagundnachtgleiche.

In einer Stadt in Nordeuropa gilt $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ Stunden, wobei $t$ der Tag des Jahres ist. Tag 80 (um den 21. März) ist die Frühlings-Tagundnachtgleiche, und die Tageslänge schwankt zwischen 8 und 16 Stunden.

Q: Warum ist die Phasenverschiebung von $\sin(2x - \pi)$ nicht $\pi$?

A: Weil $B = 2$ die ganze Klammer multipliziert. Klammere es aus: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$. Die Periode beginnt dort, wo die Klammer $0$ ist, bei $x = \frac{\pi}{2}$, also beträgt die Verschiebung $\frac{\pi}{2}$.

Q: Spielt die Reihenfolge der Transformationen wirklich eine Rolle?

A: Ja, bei einer Verschiebung und einer Streckung in derselben Richtung. Wenn du $\sin(x)$ um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschiebst und DANN mit $2$ stauchst, erhältst du $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$, also nur eine Verschiebung um $\frac{\pi}{4}$. Änderungen in x- und in y-Richtung beeinflussen sich nicht, diese beiden Gruppen darfst du in beliebiger Reihenfolge ausführen.

Q: Funktionieren die Schlüsselpunkte beim Kosinus genauso?

A: Ja. Beginne bei $x = C$ und gehe wie beim Sinus in Schritten von $\frac{\text{Periode}}{4}$. Nur das Muster der y-Werte ändert sich: Kosinus verläuft Hochpunkt, Mittellinie, Tiefpunkt, Mittellinie, Hochpunkt (oder umgekehrt bei $A < 0$).

Q: Was mache ich, wenn $B$ negativ ist?

A: Schreibe die Funktion zuerst um. Der Sinus ist ungerade, $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, also $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. Der Kosinus ist gerade, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, also $\cos(-2x) = \cos(2x)$. Danach ist $B > 0$ und die Methode funktioniert wie gewohnt.