Mittellinie, Maximum und Minimum ablesen

Bestimme für $y = 3\sin(x) + 2$ die Mittellinie, das Maximum, das Minimum und den Wertebereich.

A und D bestimmen: Vergleiche mit $y = A\sin(x) + D$ = $A = 3$, $D = 2$

Mittellinie angeben: Die Mittellinie ist $y = D$ = $y = 2$

Maximum und Minimum berechnen: $D + |A| = 2 + 3$ und $D - |A| = 2 - 3$ = Maximum $5$, Minimum $-1$

Wertebereich angeben: Alle y-Werte vom Minimum bis zum Maximum = $[-1, 5]$

Answer: Mittellinie $y = 2$, Maximum $5$, Minimum $-1$, Wertebereich $[-1, 5]$.

Eine Verschiebung nach unten

Beschreibe den Graphen von $y = \cos(x) - 4$ im Vergleich zu $y = \cos(x)$.

D bestimmen: $y = \cos(x) + (-4)$ = $D = -4$

Richtung festlegen: $D < 0$, also wird der Graph nach unten verschoben = Um $4$ Einheiten nach unten

Neue Mittellinie bestimmen: Die x-Achse $y = 0$ wandert nach $y = -4$ = Mittellinie $y = -4$

Neues Maximum und Minimum bestimmen: $-4 + 1 = -3$ und $-4 - 1 = -5$ = Maximum $-3$, Minimum $-5$

Answer: Die Kosinuskurve wird um 4 Einheiten nach unten verschoben. Sie behält ihre Form und schwingt zwischen $-5$ und $-3$ um die Mittellinie $y = -4$.

Negatives A mit Verschiebung

Bestimme für $y = -2\cos(x) + 1$ das Maximum und das Minimum und wo sie im Intervall $[0, 2\pi]$ liegen.

A und D bestimmen: Vergleiche mit $y = A\cos(x) + D$ = $A = -2$, $D = 1$

Die Amplitude verwenden, nicht A selbst: $|A| = |-2| = 2$ = Amplitude $2$

Größten und kleinsten Wert berechnen: $1 + 2 = 3$ und $1 - 2 = -1$ = Maximum $3$, Minimum $-1$

Stellen bestimmen: Bei $x = 0$: $-2\cos(0) + 1 = -1$. Bei $x = \pi$: $-2\cos(\pi) + 1 = 3$ = Minimum bei $x = 0$ und $x = 2\pi$, Maximum bei $x = \pi$

Answer: Maximum $3$ bei $x = \pi$, Minimum $-1$ bei $x = 0$ und $x = 2\pi$. Das negative $A$ spiegelt die Kurve, aber die Mittellinie $y = 1$ und der Wertebereich $[-1, 3]$ bleiben gleich.

A und D aus Maximum und Minimum bestimmen

Eine Sinuskurve beginnt auf ihrer Mittellinie, steigt zuerst und schwingt zwischen $9$ und $3$. Gib ihre Gleichung in der Form $y = A\sin(x) + D$ an.

Mittellinie bestimmen: $D = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2}$ = $D = 6$

Amplitude bestimmen: $|A| = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2}$ = $|A| = 3$

Vorzeichen von A wählen: Die Kurve beginnt auf der Mittellinie und steigt, wie $\sin(x)$ = $A = 3$

Gleichung aufstellen: Setze $A = 3$ und $D = 6$ ein = $y = 3\sin(x) + 6$

Answer: $y = 3\sin(x) + 6$. Probe: $6 + 3 = 9$ und $6 - 3 = 3$.

Gezeiten in einem Hafen modellieren

Das Wasser in einem Hafen ist bei Flut $11$ m und bei Ebbe $3$ m tief. Ein voller Zyklus dauert $12$ Stunden, und bei $t = 0$ ist das Wasser auf mittlerer Tiefe und steigt. Stelle ein Modell $d(t) = A\sin(Bt) + D$ auf und berechne die Tiefe bei $t = 3$ Stunden.

Mittellinie (mittlere Tiefe) bestimmen: $D = \frac{11 + 3}{2}$ = $D = 7$

Amplitude bestimmen: $A = \frac{11 - 3}{2}$ (steigt am Anfang, also positiv) = $A = 4$

B aus der Periode bestimmen: $B = \frac{2\pi}{12}$ = $B = \frac{\pi}{6}$

Modell aufstellen: Setze $A$, $B$ und $D$ ein = $d(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$

Bei t = 3 auswerten: $4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 7 = 4 \cdot 1 + 7$ = $d(3) = 11$

Answer: $d(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$. Nach 3 Stunden ist das Wasser $11$ m tief, also ist Flut.

Mistake: Das Maximum von $y = -3\sin(x) + 1$ als $1 + (-3) = -2$ angeben

Why: Die Kurve reicht um die Amplitude über und unter die Mittellinie, und die Amplitude ist immer positiv. Das Vorzeichen von $A$ spiegelt die Kurve nur.

Correct: Maximum $= D + |A| = 1 + 3 = 4$, Minimum $= D - |A| = 1 - 3 = -2$.

Mistake: $y = \sin(x) - 2$ als Verschiebung um 2 nach oben lesen

Why: In $y = A\sin(x) + D$ ist die Verschiebung $D$ mit Vorzeichen. Hier ist $D = -2$.

Correct: $y = \sin(x) - 2$ verschiebt die Kurve um 2 Einheiten **nach unten**, die Mittellinie ist $y = -2$.

Mistake: Das Maximum für die Amplitude halten: bei $y = 2\sin(x) + 5$ sei die Amplitude 7

Why: Die Amplitude wird von der Mittellinie aus gemessen, nicht von der x-Achse. Die Verschiebung hebt die Kurve an, macht sie aber nicht höher.

Correct: Die Amplitude ist $|A| = 2$. Das Maximum ist $5 + 2 = 7$.

Mistake: Das Halbieren vergessen: Amplitude $= \text{max} - \text{min}$

Why: $\text{max} - \text{min}$ ist die ganze Höhe vom tiefsten zum höchsten Punkt, also zwei Amplituden.

Correct: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ und $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$. Für Maximum 9 und Minimum 3: $|A| = 3$, $D = 6$.

Riesenräder

Die Höhe einer Gondel im Riesenrad steigt und fällt wie eine Kosinuskurve. Die Mittellinie ist die Höhe der Radnabe.

Ein Rad mit 40 m Durchmesser, dessen tiefste Gondel 2 m über dem Boden ist, lässt sich durch $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ beschreiben (t in Minuten): Amplitude 20, Mittellinie 22, Wertebereich $[2, 42]$.

Gezeiten

Hafenmeister und Segler beschreiben den Wasserstand mit einer Sinus- oder Kosinuskurve, deren Mittellinie der mittlere Wasserstand ist.

Ist der Wasserstand bei Flut 5{,}2 m und bei Ebbe 0{,}8 m, dann ist der mittlere Wasserstand $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, also hat das Modell $D = 3$.

Temperatur im Tagesverlauf

Wetterforscher beschreiben die Temperatur über 24 Stunden mit einer Kosinuskurve um die mittlere Tagestemperatur.

Das Modell $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$, mit t in Stunden nach 3:00 Uhr, ist um 3:00 Uhr am kältesten und 12 Stunden später am wärmsten.

Q: Ändert die Verschiebung in y-Richtung die Periode oder die Amplitude?

A: Nein. $D$ verschiebt jeden Punkt des Graphen um denselben Betrag nach oben oder unten, also behält die Kurve ihre Höhe und ihre Breite. Nur Mittellinie, Maximum, Minimum und Wertebereich ändern sich.

Q: Ist die Verschiebung in y-Richtung dasselbe wie die Mittellinie?

A: Beide kommen von derselben Zahl. Die Verschiebung ist die Bewegung (zum Beispiel 3 Einheiten nach oben), und die Mittellinie ist die Gerade, auf der die Mitte der Kurve danach liegt ($y = 3$).

Q: Warum verschiebt $\sin(x) + 2$ nach oben, $\sin(x + 2)$ aber nicht?

A: Eine Zahl, die außerhalb der Funktion addiert wird, ändert den Funktionswert, also bewegt sich der Graph senkrecht. Eine Zahl, die innen zu $x$ addiert wird, ändert die Eingabe, also bewegt sich der Graph seitlich. Diese seitliche Bewegung ist die Phasenverschiebung (Lektion Phasenverschiebung).

Q: Kann eine verschobene Sinuskurve ganz oberhalb der x-Achse bleiben?

A: Ja, wenn $D > |A|$ ist. Dann ist das Minimum $D - |A|$ positiv. Zum Beispiel kommt $y = 2\sin(x) + 5$ nie unter $3$. Riesenradhöhen und Wassertiefen verhalten sich so.