In Sinus und Kosinus umschreiben

Beweise, dass $\tan x \cos x = \sin x$ gilt.

Wähle die Seite, an der du arbeitest: Die linke Seite hat zwei Funktionen, die rechte nur eine. Starte links. = $\tan x \cos x$

Verwende die Quotientenidentität: Ersetze $\tan x$ durch $\frac{\sin x}{\cos x}$ = $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x$

Kürze den gemeinsamen Faktor: $\cos x$ im Zähler und im Nenner kürzt sich (wo $\cos x \neq 0$) = $\sin x$

Vergleiche mit der rechten Seite: Die linke Seite sieht jetzt genau wie die rechte Seite aus = $\sin x = \sin x$ ✓

Answer: $\tan x \cos x = \sin x$ ist eine Identität für jedes $x$ mit $\cos x \neq 0$.

Brüche zusammenfassen, dann Pythagoras

Beweise, dass $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ gilt.

In Sinus und Kosinus umschreiben: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ = $\frac{1}{\cos x} - \cos x$

Auf einen gemeinsamen Nenner bringen: $\cos x = \frac{\cos^2 x}{\cos x}$ = $\frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}$

Die Pythagoreische Identität anwenden: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ = $\frac{\sin^2 x}{\cos x}$

Einen Faktor abspalten: $\frac{\sin^2 x}{\cos x} = \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$ = $\sin x \tan x$ ✓

Answer: $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ ist eine Identität (für $\cos x \neq 0$). Probe bei $x = 60°$: $2 - 0{,}5 = 1{,}5$ und $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = 1{,}5$.

Mit dem konjugierten Ausdruck erweitern

Beweise, dass $\dfrac{\sin x}{1 - \cos x} = \dfrac{1 + \cos x}{\sin x}$ gilt.

Den Trick wählen: Der Nenner $1 - \cos x$ hat den konjugierten Ausdruck $1 + \cos x$. Multipliziere die linke Seite mit $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$, das ist gleich 1. = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

Den Nenner ausmultiplizieren: Dritte binomische Formel: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x}$

Die Pythagoreische Identität anwenden: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{\sin^2 x}$

Einmal $\sin x$ kürzen: $\frac{\sin x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin x}$ = $\frac{1 + \cos x}{\sin x}$ ✓

Answer: Die beiden Brüche sind für jedes $x$ mit $\sin x \neq 0$ gleich. Der konjugierte Ausdruck hat $1 - \cos x$ in $\sin^2 x$ verwandelt.

Bei der rechten Seite starten

Beweise, dass $\dfrac{\cos x}{1 - \sin x} = \sec x + \tan x$ gilt.

Die Seite wählen: Die rechte Seite hat zwei verschiedene Funktionen, die man zusammenfassen kann, also starte dort. = $\sec x + \tan x$

Umschreiben und zusammenfassen: $\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}$ = $\frac{1 + \sin x}{\cos x}$

Mit dem konjugierten Ausdruck von $1 + \sin x$ erweitern: $\frac{1 + \sin x}{\cos x} \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \sin x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x\,(1 - \sin x)}$ = $\frac{\cos^2 x}{\cos x\,(1 - \sin x)}$

Einmal $\cos x$ kürzen: $\frac{\cos^2 x}{\cos x} = \cos x$ = $\frac{\cos x}{1 - \sin x}$ ✓

Answer: Ausgehend von der rechten Seite haben wir die linke Seite erreicht, also ist die Identität bewiesen (wo $\cos x \neq 0$ und $\sin x \neq 1$).

Mit einem Winkel widerlegen

Ist $\sin x + \cos x = 1$ eine Identität?

Einfache Winkel testen: $x = 0°$: $0 + 1 = 1$. $x = 90°$: $1 + 0 = 1$. = Für diese zwei Winkel wahr

Einen Winkel dazwischen testen: $x = 45°$: $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ = $1{,}414 \neq 1$

Die Folgerung ziehen: Ein Gegenbeispiel genügt: Bei $45°$ sind die beiden Seiten verschieden. = Keine Identität

Am Graphen sehen: $y = \sin x + \cos x$ ist eine Welle und $y = 1$ eine Gerade: Sie treffen sich nur in einzelnen Punkten. = Die Graphen liegen nicht übereinander

Answer: $\sin x + \cos x = 1$ ist eine Gleichung (wahr bei $0°$, $90°$, $360°$, ...), keine Identität. Das Gegenbeispiel $x = 45°$ widerlegt sie.

Mistake: An beiden Seiten wie bei einer Gleichung arbeiten, zum Beispiel $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$ über Kreuz multiplizieren und $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ erhalten

Why: Über Kreuz multiplizieren, Terme hinüberbringen oder beide Seiten dividieren: All das setzt voraus, dass die beiden Seiten gleich sind, und genau das willst du ja zeigen.

Correct: Forme eine Seite um, bis sie zur anderen Seite wird. Das Gleichheitszeichen bleibt bis zum Schluss unangetastet.

Mistake: Einen oder zwei Winkel prüfen und die Identität für bewiesen halten

Why: $\sin x + \cos x = 1$ stimmt bei $0°$ und $90°$, aber nicht bei $45°$. Ein paar wahre Beispiele beweisen nie, dass etwas für jeden Winkel gilt.

Correct: Verwende Zahlen nur zum Testen oder Widerlegen. Ein Beweis braucht Algebra mit Identitäten, die für alle $x$ gelten.

Mistake: Einen Bruch am Nenner aufteilen: $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x}{1} - \frac{\sin x}{\cos x}$

Why: Eine Summe im Zähler darfst du aufteilen, $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$, eine Summe im Nenner aber nie. Bei $x = 60°$ ist die linke Seite $1{,}732$ und die rechte $-0{,}866$.

Correct: Um $1 - \cos x$ im Nenner loszuwerden, erweiterst du Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck $1 + \cos x$.

Mistake: $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos x$ oder $1 + \cos^2 x$ schreiben

Why: Das Produkt konjugierter Ausdrücke ist nach der dritten binomischen Formel eine Differenz von Quadraten: Beide Terme werden quadriert, und das Vorzeichen ist minus.

Correct: $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

Wie Computeralgebra Identitäten testet

Mathematik-Software prüft, ob zwei Formeln gleich sind, indem sie viele zufällige Winkel einsetzt, bevor sie einen vollständigen symbolischen Beweis versucht. Liefert auch nur ein Winkel verschiedene Werte, sind die Formeln verschieden.

Um $\sec x - \cos x$ und $\sin x \tan x$ zu vergleichen, wertet ein Programm beide bei Winkeln wie $17°$, $60°$ und $133°$ aus und findet jedes Mal dieselben Werte.

Physik: Eine Formel an der schiefen Ebene vereinfachen

Physikalische Formeln kommen aus einer Rechnung oft in einer umständlichen Form heraus. Eine Identität macht daraus eine kürzere Form, die schneller zu berechnen und leichter zu verstehen ist.

Eine Kraft an einer schiefen Ebene ergab sich als $F = \dfrac{G\sin\theta}{\tan\theta}$. Da $\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta$ ist, lautet die Formel einfach $F = G\cos\theta$.

Computergrafik: Drehungen erhalten Längen

Spiele drehen Punkte mit $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ und $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$. Wenn man $x'^2 + y'^2$ ausmultipliziert und $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ verwendet, ist bewiesen, dass $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ für jeden Winkel gilt, also werden Objekte nie verzerrt.

Der Punkt $(3, 4)$ bleibt nach einer Drehung um $30°$, $90°$ oder $217°$ immer im Abstand 5 vom Ursprung.

Q: Warum darf ich nicht einfach auf beiden Seiten dasselbe tun?

A: Dieselbe Rechnung auf beiden Seiten setzt voraus, dass die Seiten gleich sind, und genau das willst du beweisen. Manche dieser Umformungen (Quadrieren, Multiplizieren mit einem Term, der 0 sein kann) können sogar aus einer falschen Behauptung eine wahre machen. Wenn du an einer Seite arbeitest, vermeidest du das.

Q: Bei welcher Seite soll ich anfangen?

A: Meist bei der komplizierteren: der Seite mit mehr Termen, Brüchen oder Funktionen wie $\sec$, $\csc$, $\tan$, $\cot$. Vereinfachen ist leichter, als Komplikationen zu erfinden.

Q: Was tun, wenn ich auf halbem Weg stecken bleibe?

A: Probiere ein anderes Werkzeug: in $\sin$ und $\cos$ umschreiben, Brüche zusammenfassen, ausklammern oder konjugiert erweitern. Du darfst auch beide Seiten getrennt vereinfachen, bis sie denselben Term erreichen, solange jede Seite für sich umgeformt wird.

Q: Ist ein Blick auf den Graphen ein Beweis?

A: Nein. Liegen die Graphen beider Seiten überall übereinander, ist die Identität sehr wahrscheinlich richtig, und liegen sie nicht übereinander, ist sie falsch. Ein Bild zeigt aber nur einen begrenzten Ausschnitt, deshalb braucht ein Beweis trotzdem algebraische Schritte.