In Sinus und Kosinus umschreiben

Vereinfache $\dfrac{\tan x}{\sec x}$.

Tangens und Sekans in Sinus und Kosinus umschreiben: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ und $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ = $\dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}}$

Durch einen Bruch teilen: mit dem Kehrwert multiplizieren: $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{1}$ = $\frac{\sin x \cos x}{\cos x}$

Den gemeinsamen Faktor $\cos x$ kürzen: $\frac{\sin x \cancel{\cos x}}{\cancel{\cos x}}$ = $\sin x$

Answer: $\dfrac{\tan x}{\sec x} = \sin x$

Ausklammern und eine Pythagoreische Identität

Vereinfache $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x$.

Beide Summanden enthalten $\cos^2 x$: ausklammern: $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x = \cos^2 x(\tan^2 x + 1)$ = $\cos^2 x(\tan^2 x + 1)$

Die Pythagoreische Identität $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ anwenden: $\cos^2 x \cdot \sec^2 x$ = $\cos^2 x \sec^2 x$

Die Kehrwert-Identität $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ anwenden: $\cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$ = $1$

Answer: $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x = 1$ (für jedes $x$, für das $\tan x$ definiert ist)

Dritte binomische Formel

Vereinfache $\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x}$.

Im Zähler die dritte binomische Formel $a^2 - b^2$ erkennen: $a = \cos x$, $b = \sin x$ = $\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$

Den faktorisierten Zähler über den Nenner schreiben: $\dfrac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$ = Der Faktor $\cos x - \sin x$ steht oben und unten

Den gemeinsamen Faktor kürzen: Erlaubt, weil er ein Faktor des ganzen Zählers ist = $\cos x + \sin x$

Answer: $\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \cos x + \sin x$ (wo $\cos x \neq \sin x$)

Brüche mit gemeinsamem Nenner addieren

Vereinfache $\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x}$.

Den gemeinsamen Nenner $(1 + \cos x)(1 - \cos x)$ verwenden: $\dfrac{(1 - \cos x) + (1 + \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}$ = Ein einziger Bruch

Den Zähler vereinfachen: $1 - \cos x + 1 + \cos x = 2$ = $\dfrac{2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}$

Den Nenner ausmultiplizieren (dritte binomische Formel): $(1 + \cos x)(1 - \cos x) = 1 - \cos^2 x$ = $\dfrac{2}{1 - \cos^2 x}$

Die Pythagoreische Identität $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ anwenden: $\dfrac{2}{\sin^2 x}$ = $\dfrac{2}{\sin^2 x}$

Die Kehrwert-Identität $\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$ anwenden: $2 \cdot \frac{1}{\sin^2 x}$ = $2\csc^2 x$

Answer: $\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x} = 2\csc^2 x$

Eine Vereinfachung mit einem Winkel prüfen

Eine Mitschülerin behauptet $\dfrac{\sin x + \tan x}{\tan x} = \cos x + 1$. Prüfe es bei $x = 60°$ und bestätige es dann algebraisch.

Die linke Seite bei $x = 60°$ berechnen: $\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + 1$ = $1{,}5$

Die rechte Seite bei $x = 60°$ berechnen: $\cos 60° + 1 = 0{,}5 + 1$ = $1{,}5$

Gleicher Wert, die Behauptung besteht den Test. Ein Winkel beweist nichts, also algebraisch: den Bruch aufteilen: $\dfrac{\sin x}{\tan x} + \dfrac{\tan x}{\tan x} = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + 1$ = $\cos x + 1$

Answer: Die Vereinfachung stimmt: $\dfrac{\sin x + \tan x}{\tan x} = \cos x + 1$. Wären die beiden Werte bei $60°$ verschieden gewesen, wäre sie sicher falsch.

Mistake: Einen Summanden statt eines Faktors kürzen: $\dfrac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \cos x$

Why: Kürzen darf man nur Faktoren des GANZEN Zählers und Nenners. Hier ist $\sin x$ nur ein Summand der Summe $\sin x + \cos x$. Bei $x = 45°$ ist die linke Seite $2$, aber $\cos 45° \approx 0{,}71$.

Correct: Den Bruch aufteilen: $\dfrac{\sin x}{\sin x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} = 1 + \cot x$.

Mistake: Die Quadrate weglassen: $1 - \sin x = \cos x$ schreiben

Why: Die Pythagoreische Identität gilt für Quadrate: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Ohne Quadrate ist sie falsch: Bei $x = 30°$ ist $1 - \sin 30° = 0{,}5$, aber $\cos 30° \approx 0{,}87$.

Correct: Nur $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ stimmt. Wenn du $1 - \sin x$ siehst, denk lieber an die dritte binomische Formel oder einen konjugierten Ausdruck.

Mistake: Brüche addieren, indem man die Nenner addiert: $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{2}{\sin x + \cos x}$

Why: Trigonometrische Brüche folgen denselben Regeln wie Zahlenbrüche, und $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ist nicht $\frac{2}{5}$.

Correct: Den gemeinsamen Nenner $\sin x \cos x$ verwenden: $\dfrac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x}$.

Mistake: Einer Probe mit nur einem besonderen Winkel wie $45°$ vertrauen

Why: Bei $x = 45°$ gilt $\sin x = \cos x$, deshalb liefern viele falsche Vereinfachungen (etwa $\sin x\tan x = \cos x$) dort zufällig dieselbe Zahl.

Correct: Mit einem oder zwei "gewöhnlichen" Winkeln prüfen, zum Beispiel $20°$ und $50°$. Ein Unterschied beweist einen Fehler; gleiche Werte machen das Ergebnis nur wahrscheinlich, beweisen tut es die Algebra.

Formeln in der Technik

Ingenieurinnen und Ingenieure erhalten Kraft- und Spannungsformeln oft als lange trigonometrische Terme, nachdem sie mehrere Teile kombiniert haben. Vorher zu vereinfachen macht das Rechnen leicht und senkt die Fehlerquote.

Eine Kraft auf einen schrägen Träger ergibt sich als $F = 50(1 - \cos^2\theta)\csc\theta$ Newton. Weil $(1 - \cos^2\theta)\csc\theta = \sin\theta$ gilt, ist das einfach $F = 50\sin\theta$.

Schnellerer Code in Spielen und Grafik

Spiel-Engines berechnen trigonometrische Terme millionenfach pro Sekunde. Jeder Funktionsaufruf, den das Vereinfachen einspart, macht das Programm schneller.

Eine Rotationsroutine berechnet in jedem Bild $\dfrac{\sin x}{\tan x}$. Weil $\dfrac{\sin x}{\tan x} = \sin x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cos x$ gilt, werden aus zwei Funktionsaufrufen und einer Division ein einziger Aufruf.

Rampen und Steigungen auf dem Bau

Bauleute und Vermessungsfachleute arbeiten mit der Höhe einer Rampe über einer waagrechten Strecke. Tabellenformeln, die aus mehreren Schritten entstehen, verstecken oft einen einfachen Tangens.

Eine Tabellenkalkulation berechnet die Höhe einer Rampe als $h = d\sin x\sec x$, wobei $d$ die waagrechte Länge ist. Weil $\sin x \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ gilt, lautet die Formel eigentlich $h = d\tan x$.

Q: Woran erkenne ich, dass ein Term fertig vereinfacht ist?

A: Meistens dann, wenn er so wenige Summanden und so wenige verschiedene Funktionen wie möglich hat und keinen Doppelbruch. Wenn die Aufgabe ein Ziel nennt ("nur mit $\sin x$", "als eine einzige Funktion"), hörst du auf, sobald du diese Form erreicht hast.

Q: Soll ich immer alles in Sinus und Kosinus umschreiben?

A: Das ist die sicherste allgemeine Strategie, denn dann bleiben nur zwei Funktionen übrig und die Pythagoreische Identität $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ greift. Manchmal ist eine Abkürzung schneller, zum Beispiel direkt $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$.

Q: Reicht eine Probe mit dem Taschenrechner?

A: Sie ist ideal, um Fehler zu finden: Liefern beide Formen beim selben Winkel verschiedene Werte, stimmt etwas nicht. Gleiche Werte bei einem oder zwei Winkeln beweisen die Vereinfachung aber nicht, das tun die algebraischen Schritte.

Q: Warum haben manche vereinfachte Ergebnisse Bedingungen wie "wo $\cos x \neq \sin x$"?

A: Kürzen darf man einen Faktor nur dort, wo er nicht null ist. Dort ist der ursprüngliche Term nicht definiert, der vereinfachte vielleicht schon, deshalb stimmen beide genau genommen überall außer an diesen Winkeln überein.