Einführung in den Einheitskreis

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist der Radius des Einheitskreises?
1. a)2
2. b)0
3. c)1
4. d)
Lösung: 0
Der Einheitskreis hat einen Radius von genau 1. Deshalb heißt er 'Einheitskreis' - der Radius beträgt eine Einheit.
2.
Was sind die Koordinaten des Mittelpunkts des Einheitskreises?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Der Einheitskreis ist im Ursprung zentriert. Die anderen Optionen sind Punkte AUF dem Einheitskreis, nicht sein Mittelpunkt.
3.
Was ist ?
Lösung: 1
Bei ist der Punkt auf dem Einheitskreis bei . Da Kosinus die x-Koordinate ist, gilt .
4.
Was ist ?
Lösung: 1
Bei ist der Punkt auf dem Einheitskreis bei . Da Sinus die y-Koordinate ist, gilt .
5.
Auf dem Einheitskreis, was repräsentiert die x-Koordinate eines Punktes?
1. a)
2. b)
3. c)Der Radius
4. d)
Lösung:
Auf dem Einheitskreis repräsentiert die x-Koordinate und die y-Koordinate repräsentiert . Die Koordinaten sind .
6.
Was ist ?
Lösung: -1
Bei ist der Punkt auf dem Einheitskreis bei . Da Kosinus die x-Koordinate ist, gilt .
7.
Was ist ?
Lösung: -1
Bei ist der Punkt auf dem Einheitskreis bei . Da Sinus die y-Koordinate ist, gilt .
8.
In welchem Quadranten sind sowohl Sinus als auch Kosinus positiv?
1. a)Quadrant III
2. b)Quadrant II
3. c)Quadrant IV
4. d)Quadrant I
Lösung: Quadrant I
Im Quadranten I (oben rechts) sind sowohl x als auch y positiv. Da und , sind beide im Quadranten I positiv.
9.
Finde mit dem Einheitskreis.
Lösung: sqrt(2)/2
1. Bei 45 Grad, was ist besonders an den x- und y-Koordinaten? gleich
2. Wenn x = y und x^2 + y^2 = 1, was ist x^2? 1/2
3. Was ist der Wert von x (und damit sin(45))? sqrt(2)/2
10.
Finde die Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis bei .
Lösung: (-1, 0)
1. Wie viele Grad rotierst du von der positiven x-Achse, um 180 Grad zu erreichen? 180
2. Wo bringt dich das auf dem Kreis? links
3. Was ist die x-Koordinate (Kosinus) an diesem Punkt? -1
4. Was ist die y-Koordinate (Sinus) an diesem Punkt? 0
11.
In welchem Quadranten ist positiv und negativ?
1. a)Quadrant II
2. b)Quadrant III
3. c)Quadrant IV
4. d)Quadrant I
Lösung: Quadrant II
Im Quadranten II (oben links) ist x negativ und y positiv. Da und , ist Sinus positiv und Kosinus negativ im Quadranten II.
12.
Was ist ?
Lösung: 0
Bei haben wir eine volle Umdrehung abgeschlossen und sind zum Ausgangspunkt zuruckgekehrt. Da Sinus die y-Koordinate ist, gilt . Beachte, dass dies dasselbe ist wie !
13.
Finde mit Bezugswinkeln.
Lösung: -1/2
1. In welchem Quadranten liegt 120 Grad? II
2. Was ist der Bezugswinkel? (180 - 120) 60
3. Was ist cos(60)? 1/2
4. Im Quadranten II, ist Kosinus positiv oder negativ? negativ
5. Was ist also cos(120)? -1/2
14.
Wenn ein Punkt auf dem Einheitskreis die Koordinaten hat, verifiziere, dass er auf dem Einheitskreis liegt.
Lösung: 1
1. Wie lautet die Gleichung des Einheitskreises? x^2 + y^2 = 1
2. Was ist x^2, wenn x = 0,6? 0,36
3. Was ist y^2, wenn y = 0,8? 0,64
4. Was ist x^2 + y^2? 1
15.
Was stimmt über für jeden Winkel ?
1. a)Es ist immer gleich 2
2. b)Es hängt vom Winkel ab
3. c)Es ist immer gleich 0
4. d)Es ist immer gleich 1
Lösung: Es ist immer gleich 1
Da immer auf dem Einheitskreis liegt, muss es erfüllen. Daher gilt für ALLE Winkel. Das ist die trigonometrische Pythagoras-Identität!