Bogenmaß und Gradmaß

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie viele Grad hat ein Vollkreis?
1. a) $360°$
2. b) $90°$
3. c) $2\pi$
4. d) $180°$
Lösung: $360°$
Ein Vollkreis hat $360°$ . Beachte, dass $2\pi$ auch ein Vollkreis ist, aber in Radiant gemessen, nicht in Grad.
2.
Was ist die wichtigste Beziehung zwischen Grad und Bogenmaß?
1. a) $180° = 2\pi$ Radiant
2. b) $360° = \pi$ Radiant
3. c) $180° = \pi$ Radiant
4. d) $90° = \pi$ Radiant
Lösung: $180° = \pi$ Radiant
Die grundlegende Beziehung ist $180° = \pi$ Radiant. Das ist ein halber Kreis. Daraus folgt $360° = 2\pi$ und $90° = \frac{\pi}{2}$ .
3.
Rechne $90°$ in Bogenmaß um. Gib deine Antwort als Bruch von $\pi$ an (z.B. pi/2).
Lösung: pi/2
$90° \times \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ Radiant. Das ist ein Viertel eines Kreises.
4.
Rechne $\frac{\pi}{6}$ Radiant in Grad um.
Lösung: 30
$\frac{\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = \frac{180}{6} = 30°$ . Das $\pi$ kürzt sich, es bleibt eine einfache Division.
5.
Rechne $60°$ in Bogenmaß um.
1. a) $\frac{\pi}{3}$
2. b) $\frac{\pi}{4}$
3. c) $\frac{2\pi}{3}$
4. d) $\frac{\pi}{6}$
Lösung: $\frac{\pi}{3}$
$60° \times \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ . Hinweis: $\frac{\pi}{6}$ ist $30°$ , $\frac{2\pi}{3}$ ist $120°$ , und $\frac{\pi}{4}$ ist $45°$ .
6.
Rechne $135°$ in Bogenmaß um und vereinfache.
Lösung: 3pi/4
1. Welche Formel verwendest du, um Grad in Bogenmaß umzurechnen? Grad * pi/180
2. Stelle die Multiplikation auf: $135 \times \frac{\pi}{180}$ = ? 135pi/180
3. Finde den GGT von 135 und 180 zum Vereinfachen. 45
4. Teile beide durch 45: $\frac{135\pi}{180} = \frac{?\pi}{?}$ 3pi/4
7.
Rechne $\frac{5\pi}{4}$ Radiant in Grad um.
Lösung: 225
$\frac{5\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{5 \times 180}{4} = \frac{900}{4} = 225°$ . Dieser Winkel liegt im dritten Quadranten.
8.
Welcher dieser Werte entspricht am ehesten 1 Radiant in Grad?
1. a) $57{,}3°$
2. b) $90°$
3. c) $180°$
4. d) $30°$
Lösung: $57{,}3°$
$1 \text{ rad} \times \frac{180}{\pi} = \frac{180}{\pi} \approx \frac{180}{3{,}14} \approx 57{,}3°$ . Ein Radiant ist der Winkel, bei dem die Bogenlänge gleich dem Radius ist.
9.
Rechne $\frac{7\pi}{6}$ Radiant in Grad um und bestimme den Quadranten.
Lösung: 210, third
1. Stelle die Umrechnung auf: $\frac{7\pi}{6} \times \frac{180}{\pi}$ . Das $\pi$ kürzt sich. Was ist $\frac{7 \times 180}{6}$ ? 210
2. Liegt $210°$ zwischen 0° und 90°, 90° und 180°, 180° und 270°, oder 270° und 360°? 180 und 270
3. Welcher Quadrant ist das? dritte
10.
Rechne $270°$ in Bogenmaß um. Gib es als Bruch von $\pi$ an.
Lösung: 3pi/2
$270° \times \frac{\pi}{180} = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}$ Radiant. Das sind drei Viertel eines Vollkreises.
11.
Ein Rad dreht sich mit $4\pi$ Radiant pro Sekunde. Wie viele vollständige Umdrehungen macht es pro Sekunde?
1. a)4
2. b)2
3. c) $\pi$
4. d)1
Lösung: 2
Eine Umdrehung = $2\pi$ rad. Also $\frac{4\pi}{2\pi} = 2$ Umdrehungen pro Sekunde.
12.
Rechne $315°$ in Bogenmaß um und bestimme den Bezugswinkel.
Lösung: 7pi/4, 45
1. Rechne $315°$ in Bogenmaß um: $315 \times \frac{\pi}{180}$ 315pi/180
2. Vereinfache, indem du den GGT von 315 und 180 findest. Was ist der GGT? 45
3. Vereinfache $\frac{315\pi}{180}$ vollständig. 7pi/4
4. In welchem Quadranten liegt $315°$ ? vierte
5. Für den vierten Quadranten: Bezugswinkel = $360° - 315° = ?$ 45
13.
Rechne $\frac{11\pi}{6}$ Radiant in Grad um.
Lösung: 330
$\frac{11\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = \frac{11 \times 180}{6} = \frac{1980}{6} = 330°$ . Dieser Winkel liegt $30°$ vor einer vollen Umdrehung.
14.
Rechne $-45°$ in Bogenmaß um. Gib deine Antwort als vereinfachten Bruch von $\pi$ an.
Lösung: -pi/4
1. Ändert sich die Formel für negative Winkel? nein
2. Berechne $-45 \times \frac{\pi}{180}$ -45pi/180
3. Vereinfache $\frac{-45\pi}{180}$ durch Teilen durch 45 -pi/4
15.
Welcher Winkel ist größer: $2$ Radiant oder $100°$ ?
1. a) $100°$
2. b)Kann nicht bestimmt werden
3. c) $2$ Radiant
4. d)Sie sind gleich
Lösung: $2$ Radiant
$2 \text{ rad} \times \frac{180}{\pi} \approx 2 \times 57{,}3 \approx 114{,}6°$ . Da $114{,}6° > 100°$ , ist $2$ Radiant größer.
16.
Ein Pendel schwingt durch einen Bogen von $\frac{\pi}{5}$ Radiant. Wie groß ist dieser Winkel in Grad?
Lösung: 36
1. Welche Formel rechnet Bogenmaß in Grad um? Bogenmaß * 180/pi
2. Aufstellen: $\frac{\pi}{5} \times \frac{180}{\pi}$ . Was passiert mit $\pi$ ? kürzt sich
3. Nach dem Kürzen von $\pi$ , was bleibt übrig? 180/5
4. Berechne $\frac{180}{5}$ 36