Exponentialfunktionen
Zeichne und löse Wachstums- und Zerfallsprobleme
Lektionen (10)
Einführung in Exponentialfunktionen
Lerne, was Exponentialfunktionen sind, wie sie sich von linearen und polynomialen Funktionen unterscheiden, und warum sie explosives Wachstum und Zerfall modellieren.
Exponentielles Wachstum
Lerne, wie Größen exponentiell wachsen, und wende Wachstumsformeln auf reale Szenarien an.
Exponentialfunktionen zeichnen
Zeichne y = a·b^x mit einer Wertetabelle, lies Achsenabschnitt und Asymptote ab und sieh, wie Verschiebungen, Spiegelungen und Streckungen den Graphen verändern.
Exponentielle Abnahme
Lerne, wie Größen um einen festen Prozentsatz abnehmen, nutze die Formel y = a(1 - r)^t und löse Aufgaben zu Wertverlust, Medikamenten und Abkühlung.
Die natürliche Basis e
Entdecke, woher die Zahl e kommt, warum sie etwa 2,71828 beträgt und wie sich die natürliche Exponentialfunktion y = e^x verhält.
Aufgaben zur Halbwertszeit
Lerne, mit der Halbwertszeit zu berechnen, wie viel von einem Stoff übrig ist, wie viel Zeit vergangen ist und wie lang eine Halbwertszeit ist.
Stetiges Wachstum und stetige Abnahme
Nutze A = Pe^(rt) und A = Pe^(-kt) für stetige Verzinsung, Bakterienwachstum und radioaktiven Zerfall und vergleiche stetige mit jährlicher Verzinsung.
Exponentialgleichungen lösen
Löse Gleichungen mit der Unbekannten im Exponenten, indem du beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreibst, und schätze Lösungen, die keine ganzen Zahlen sind.
Modelle für Bevölkerungswachstum
Modelliere wachsende Populationen von Bakterien, Städten und Tieren mit Exponentialfunktionen, Verdopplungszeit und der 70er-Regel.
Sachaufgaben zu Exponentialfunktionen
Löse echte Sachaufgaben zu Exponentialfunktionen mit einer 5-Schritte-Methode: Zinseszins, Wertverlust, virale Verbreitung, Halbwertszeit und stetiges Wachstum.
Exponentialfunktionen modellieren schnelles Wachstum oder Zerfall, bei dem die Änderungsrate proportional zur aktuellen Menge ist. Von Zinseszins über Bevölkerungswachstum bis zum radioaktiven Zerfall beschreiben diese Funktionen viele natürliche Phänomene.
Was Schüler lernen werden
- Exponentielles Wachstum und Zerfall grafisch darstellen
- Wichtige Merkmale exponentieller Graphen identifizieren
- Exponentielle Gleichungen aus Kontext schreiben
- Exponentielle Gleichungen lösen
- Auf reale Wachstums- und Zerfallsprobleme anwenden
Häufig gestellte Fragen
Was macht eine Funktion exponentiell?
Bei Exponentialfunktionen ist die Variable im Exponenten: $f(x) = a \cdot b^x$. Die Basis b bestimmt Wachstum (b>1) oder Zerfall (0<b<1).
Was ist der Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum?
Lineares Wachstum addiert einen konstanten Betrag. Exponentielles Wachstum multipliziert mit einem konstanten Faktor.
Was ist die natürliche Exponentialfunktion?
$f(x) = e^x$ wobei e ≈ 2,718. Sie erscheint natürlich bei stetigem Wachstum.