Logarithmen
Verstehe und wende logarithmische Funktionen und Eigenschaften an
Lektionen (12)
Einführung in Logarithmen
Lerne, was Logarithmen sind und wie sie als Umkehroperationen mit Exponenten zusammenhängen.
Definition des Logarithmus
Verstehe, was Logarithmen sind und wie sie als Umkehrung der Potenzierung funktionieren.
Dekadischer Logarithmus (Basis 10)
Lerne den dekadischen Logarithmus log x zur Basis 10 kennen: exakte Werte für Zehnerpotenzen, Abschätzen zwischen ganzen Zahlen und Rechnen mit dem Taschenrechner.
Natürlicher Logarithmus (ln)
Lerne, was ln x bedeutet, warum ln e = 1 und ln 1 = 0 gilt, wie ln die Funktion e^x rückgängig macht und wie du Gleichungen wie e^x = 20 mit dem Taschenrechner löst.
Graphen von Logarithmusfunktionen
Lerne, Logarithmusfunktionen zu zeichnen: markante Punkte, Definitionsmenge, Wertemenge, senkrechte Asymptote, Spiegelbild der Exponentialfunktion und Verschiebungen.
Eigenschaften von Logarithmen
Lerne die grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen: den Logarithmus von 1, den Logarithmus der Basis, die beiden Umkehreigenschaften und die Eindeutigkeit des Logarithmus.
Produktregel für Logarithmen
Lerne, warum der Logarithmus eines Produkts die Summe der Logarithmen ist, und nutze die Regel zum Zerlegen, Zusammenfassen und Berechnen.
Quotientenregel für Logarithmen
Lerne, warum der Logarithmus eines Quotienten eine Differenz von Logarithmen ist, und nutze die Regel zum Zerlegen und Zusammenfassen.
Potenzregel für Logarithmen
Lerne, wie die Potenzregel einen Exponenten vor den Logarithmus zieht, wie Wurzeln zu Bruchpotenzen werden und wie du Logarithmen mit allen drei Gesetzen zerlegst und zusammenfasst.
Basiswechselformel
Mit der Basiswechselformel berechnest du Logarithmen zu jeder beliebigen Basis mit der log- oder ln-Taste deines Taschenrechners.
Logarithmusgleichungen lösen
Löse Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Logarithmus steht, erkenne Scheinlösungen und löse Exponentialgleichungen wie 3^x = 20 mit Logarithmen.
Sachaufgaben mit Logarithmen
Löse echte Probleme mit Logarithmen: pH-Wert, Dezibel, Erdbebenstärken, Verdopplungszeit, Halbwertszeit und wie lange Geld zum Wachsen braucht.
Logarithmen sind die Umkehrung von Exponentialfunktionen und beantworten die Frage: Mit welcher Potenz muss die Basis potenziert werden, um einen bestimmten Wert zu erhalten? Wesentlich für das Lösen exponentieller Gleichungen.
Was Schüler lernen werden
- Zwischen exponentieller und logarithmischer Form umrechnen
- Logarithmen ohne Taschenrechner auswerten
- Logarithmus-Eigenschaften anwenden
- Logarithmische Gleichungen lösen
- Logarithmen in realen Anwendungen nutzen
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet ein Logarithmus?
$\log_b(x) = y$ bedeutet $b^y = x$. Zum Beispiel ist $\log_2(8) = 3$ weil $2^3 = 8$.
Was sind die wichtigsten Logarithmus-Eigenschaften?
Produkt: $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$. Quotient: $\log(a/b) = \log(a) - \log(b)$. Potenz: $\log(a^n) = n\log(a)$.
Was ist der Unterschied zwischen log und ln?
log bedeutet meist Basis 10. ln bedeutet Basis e (natürlicher Logarithmus).