Problemas con ecuaciones

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué ecuación representa: "Un número aumentado en 7 es igual a 15"?
1. a) $x = 7 + 15$
2. b) $7x = 15$
3. c) $x - 7 = 15$
4. d) $x + 7 = 15$
Respuesta: $x + 7 = 15$
"Un número aumentado en 7" se traduce a $x + 7$ . "Es igual a 15" significa $= 15$ . Juntos: $x + 7 = 15$ .
2.
"5 unidades menos que un número" se escribe como:
1. a) $x + 5$
2. b) $5 - x$
3. c) $x - 5$
4. d) $5x$
Respuesta: $x - 5$
"5 unidades menos que un número" significa que empezamos con el número y restamos 5. Entonces $x - 5$ . Recuerda: ¡la cantidad que va DESPUÉS de "que" se escribe primero!
3.
Un número más 8 es igual a 20. ¿Cuál es el número?
Respuesta: 12
Ecuación: $x + 8 = 20$ . Resta 8 de ambos lados: $x = 20 - 8 = 12$ .
4.
El triple de un número es 27. ¿Cuál es el número?
Respuesta: 9
"El triple de un número" es $3x$ . Entonces $3x = 27$ . Divide entre 3: $x = 9$ .
5.
¿Qué frase significa $2x + 5$ ?
1. a)El doble de un número menos 5
2. b)5 más que el doble de un número
3. c)5 veces un número más 2
4. d)El doble de la suma de un número y 5
Respuesta: 5 más que el doble de un número
$2x + 5$ significa: primero duplicar el número ( $2x$ ), luego sumar 5. Eso es "5 más que el doble de un número".
6.
Tom tiene 4 años más que su hermana. Juntos, sus edades suman 24. ¿Cuántos años tiene Tom?
Respuesta: 14
1. Sea x = edad de la hermana. Escribe la edad de Tom en función de x: x + 4
2. Escribe la ecuación para sus edades que suman 24: x + (x + 4) = 24
3. Agrupa los términos semejantes: $x + x + 4 = \square x + 4$ . ¿Qué número va en la casilla? 2
4. Resuelve $2x + 4 = 24$ . ¿Cuánto es x (edad de la hermana)? 10
5. La edad de Tom es $x + 4$ . ¿Cuántos años tiene Tom? 14
7.
Un número menos 9 es igual a 14. ¿Cuál es el número?
Respuesta: 23
$x - 9 = 14$ . Suma 9 a ambos lados: $x = 14 + 9 = 23$ . Verificación: $23 - 9 = 14$ ✓
8.
Un libro cuesta 8 euros menos que un juego. Juntos cuestan 42 euros. ¿Qué ecuación modela esto?
1. a) $x - (x - 8) = 42$
2. b) $x + (x - 8) = 42$
3. c) $x + (x + 8) = 42$
4. d) $8x = 42$
Respuesta: $x + (x - 8) = 42$
Sea x = precio del juego. Libro = x - 8 (8 menos). Juntos: juego + libro = $x + (x - 8) = 42$ .
9.
La longitud de un rectángulo es 5 cm más que su ancho. El perímetro es 46 cm. Encuentra el ancho.
Respuesta: 9
1. Sea w = ancho. Expresa la longitud en función de w: w + 5
2. Fórmula del perímetro: $2 \times \text{longitud} + 2 \times \text{ancho}$ . Escribe la ecuación: 2(w + 5) + 2w = 46
3. Desarrolla y agrupa los términos semejantes: la ecuación queda $\square w + 10 = 46$ . ¿Qué número va en la casilla? 4
4. Despeja w: 9
10.
Las entradas de cine cuestan 12 euros para adultos y 7 euros para niños. Un grupo compró 8 entradas y pagó 76 euros en total. ¿Cuántas entradas de adulto se compraron?
Respuesta: 4
1. Sea a = entradas de adulto. Expresa las entradas de niño en función de a: 8 - a
2. Escribe la ecuación del coste (coste adultos + coste niños = 76): 12a + 7(8 - a) = 76
3. Desarrolla $7(8-a)$ : 56 - 7a
4. Agrupa $12a - 7a$ : la ecuación $12a + 56 - 7a = 76$ queda $\square a + 56 = 76$ . ¿Qué número va en la casilla? 5
5. Despeja a: 4
11.
El doble de un número, disminuido en 5, es 13. ¿Cuál es la ecuación?
1. a) $2x + 5 = 13$
2. b) $2(x - 5) = 13$
3. c) $x - 5 = 13$
4. d) $2x - 5 = 13$
Respuesta: $2x - 5 = 13$
"El doble de un número" = $2x$ . "Disminuido en 5" = resta 5. Entonces $2x - 5 = 13$ . Nota: $2(x-5)$ sería "el doble de (un número disminuido en 5)" - ¡diferente significado!
12.
La suma de tres enteros consecutivos es 72. ¿Cuál es el entero más pequeño?
Respuesta: 23
Sean los enteros x, x+1, x+2. Suma: $x + (x+1) + (x+2) = 72$ . Simplificar: $3x + 3 = 72$ , $3x = 69$ , $x = 23$ .
13.
Un tren viaja a 80 km/h. Un coche sale 2 horas después viajando a 120 km/h por la misma ruta. ¿Después de cuántas horas el coche alcanzará al tren?
Respuesta: 4
1. Sea t = tiempo de viaje del coche en horas. ¿Cuánto tiempo ha viajado el tren? t + 2
2. Escribe la distancia del tren (velocidad × tiempo): 80(t + 2)
3. Escribe la distancia del coche: 120t
4. Cuando se encuentran, las distancias son iguales. Escribe la ecuación: 120t = 80(t + 2)
5. Resuelve: $120t = 80t + 160$ . ¿Cuánto es t? 4
14.
Una hucha contiene monedas por valor de 4,40 euros. Hay 8 monedas de 20 céntimos más que monedas de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de 50 céntimos hay?
Respuesta: 4
1. Sea x = número de monedas de 50 céntimos. Expresa las monedas de 20 céntimos en función de x: x + 8
2. Valor de las monedas de 50 céntimos en euros: 0.50x
3. Valor de las monedas de 20 céntimos en euros: 0.20(x + 8)
4. Ecuación del valor total: 0.50x + 0.20(x + 8) = 4.40
5. Simplifica y despeja x: 4
15.
Ana tiene el triple de pegatinas que Ben. Juntos tienen 48 pegatinas. ¿Cuántas tiene Ana?
1. a)36
2. b)24
3. c)12
4. d)16
Respuesta: 36
Sea x = pegatinas de Ben. Ana = 3x. Juntos: $x + 3x = 48$ , entonces $4x = 48$ , $x = 12$ . Ana tiene $3(12) = 36$ pegatinas.
16.
Una tarifa de móvil cuesta 15 euros al mes más 0,05 euros por mensaje de texto. Si la factura mensual es de 23 euros, ¿cuántos mensajes de texto se enviaron?
Respuesta: 160
1. Sea m = número de mensajes. Escribe la ecuación del coste total: 15 + 0.05m = 23
2. Resta 15 de ambos lados: 0.05m = 8
3. Divide entre 0,05: 160
17.
La mitad de un número es 9. ¿Cuál es el número?
Respuesta: 18
$\frac{x}{2} = 9$ . Multiplica ambos lados por 2: $x = 18$ .
18.
El producto de un número y 4, aumentado en 6, es igual a 30. ¿Cuál es el número?
1. a)6
2. b)8
3. c)9
4. d)5
Respuesta: 6
$4x + 6 = 30$ . Resta 6: $4x = 24$ . Divide entre 4: $x = 6$ .