Rectas paralelas y perpendiculares

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué par de rectas es paralelo?
1. a) $y = 2x + 3$ y $y = -2x + 3$
2. b) $y = 2x + 3$ y $y = 2x - 5$
3. c) $y = 2x + 3$ y $y = -\frac{1}{2}x + 1$
4. d) $y = 2x + 3$ y $y = \frac{1}{2}x + 3$
Respuesta: $y = 2x + 3$ y $y = 2x - 5$
Ambas rectas tienen pendiente $m = 2$ , así que son paralelas. Las diferentes ordenadas en el origen ( $3$ y $-5$ ) confirman que son rectas paralelas distintas.
2.
¿Qué par de rectas es perpendicular?
1. a) $y = 3x + 1$ y $y = 3x - 4$
2. b) $y = 3x + 1$ y $y = -\frac{1}{3}x + 2$
3. c) $y = 3x + 1$ y $y = \frac{1}{3}x + 5$
4. d) $y = 3x + 1$ y $y = -3x + 2$
Respuesta: $y = 3x + 1$ y $y = -\frac{1}{3}x + 2$
Las pendientes son $3$ y $-\frac{1}{3}$ . Como $3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$ , las rectas son perpendiculares.
3.
¿Cuál es la pendiente de una recta paralela a $y = 5x - 7$ ?
Respuesta: 5
La pendiente de $y = 5x - 7$ es $5$ . Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, así que la respuesta es $5$ .
4.
¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a $y = 4x + 2$ ?
Respuesta: -1/4
La pendiente es $4$ . El inverso opuesto es $-\frac{1}{4}$ .
5.
Las rectas $y = -x + 4$ y $y = x + 1$ son:
1. a)Ni paralelas ni perpendiculares
2. b)La misma recta
3. c)Perpendiculares
4. d)Paralelas
Respuesta: Perpendiculares
Las pendientes son $-1$ y $1$ . Como $(-1) \times 1 = -1$ , las rectas son perpendiculares.
6.
¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a $y = -\frac{2}{3}x + 5$ ?
Respuesta: 3/2
La pendiente es $-\frac{2}{3}$ . El inverso opuesto es $-\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$ .
7.
Escribe la ecuación de una recta paralela a $y = 3x - 4$ que pasa por $(1, 7)$ .
Respuesta: $y = 3x + 4$
1. ¿Cuál es la pendiente de la recta dada? 3
2. ¿Qué pendiente debería tener la recta paralela? 3
3. Usando la forma punto-pendiente $y - 7 = 3(x - 1)$ , ¿cuál es la ordenada en el origen? 4
8.
Escribe la ecuación de una recta perpendicular a $y = 2x + 3$ que pasa por $(4, 1)$ .
Respuesta: $y = -\frac{1}{2}x + 3$
1. ¿Cuál es la pendiente de la recta dada? 2
2. ¿Cuál es el inverso opuesto de $2$ ? -1/2
3. Usando la forma punto-pendiente con $(4, 1)$ y $m = -\frac{1}{2}$ , ¿cuál es la ordenada en el origen? 3
9.
¿Cuál es la relación entre $3x - 6y = 12$ y $x - 2y = 5$ ?
1. a)Perpendiculares
2. b)La misma recta
3. c)Ninguna de las dos
4. d)Paralelas
Respuesta: Paralelas
Primera ecuación: $y = \frac{1}{2}x - 2$ . Segunda ecuación: $y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$ . Misma pendiente ( $\frac{1}{2}$ ), diferentes ordenadas en el origen, así que paralelas.
10.
La recta $A$ pasa por $(0, 4)$ y $(2, 8)$ . La recta $B$ es perpendicular a la recta $A$ . ¿Cuál es la pendiente de la recta $B$ ?
Respuesta: -1/2
Pendiente de $A$ : $\frac{8-4}{2-0} = \frac{4}{2} = 2$ . Pendiente perpendicular: $-\frac{1}{2}$ .
11.
Encuentra la ecuación de una recta que pasa por $(-2, 3)$ perpendicular a $y = -\frac{1}{4}x + 5$ .
Respuesta: $y = 4x + 11$
1. ¿Cuál es la pendiente de la recta dada? -1/4
2. ¿Cuál es el inverso opuesto de $-\frac{1}{4}$ ? 4
3. Desarrolla $y - 3 = 4(x + 2)$ y despeja $y$ para obtener $y = 4x + b$ . ¿Cuánto vale $b$ ? 11
12.
La recta $L_1$ tiene ecuación $2x + 5y = 10$ . Encuentra la ecuación de la recta $L_2$ que es perpendicular a $L_1$ y pasa por $(5, -1)$ .
Respuesta: $y = \frac{5}{2}x - \frac{27}{2}$
1. Convierte $2x + 5y = 10$ a forma pendiente-intersección. ¿Cuál es la pendiente? -2/5
2. ¿Cuál es la pendiente perpendicular? 5/2
3. Usando la forma punto-pendiente con $(5, -1)$ y $m = \frac{5}{2}$ , ¿cuál es la ecuación? y = 5/2x - 27/2
13.
¿Qué valor de $k$ hace que las rectas $y = kx + 3$ y $y = \frac{3}{4}x - 2$ sean perpendiculares?
1. a) $k = -\frac{4}{3}$
2. b) $k = -\frac{3}{4}$
3. c) $k = \frac{3}{4}$
4. d) $k = \frac{4}{3}$
Respuesta: $k = -\frac{4}{3}$
Para rectas perpendiculares: $k \times \frac{3}{4} = -1$ , así que $k = -1 \div \frac{3}{4} = -\frac{4}{3}$ .
14.
Una recta paralela a $y = -\frac{3}{5}x + 2$ pasa por $(10, 4)$ . ¿Cuál es la ordenada en el origen de esta recta?
Respuesta: 10
Pendiente paralela: $-\frac{3}{5}$ . Usando $(10, 4)$ : $y - 4 = -\frac{3}{5}(x - 10)$ , así que $y = -\frac{3}{5}x + 6 + 4 = -\frac{3}{5}x + 10$ . La ordenada en el origen es $10$ .
15.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por $(3, 2)$ que es paralela a la recta que pasa por $(-1, 4)$ y $(3, -2)$ .
Respuesta: $y = -\frac{3}{2}x + \frac{13}{2}$
1. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por $(-1, 4)$ y $(3, -2)$ . -3/2
2. ¿Qué pendiente tiene la recta paralela? -3/2
3. Usando $(3, 2)$ y $m = -\frac{3}{2}$ , encuentra la ecuación. y = -3/2x + 13/2
16.
Si dos rectas son perpendiculares y una tiene pendiente $-1$ , ¿cuál es la pendiente de la otra?
Respuesta: 1
El inverso opuesto de $-1$ es $-\frac{1}{-1} = 1$ .
17.
Determina si el triángulo con vértices $A(0, 0)$ , $B(4, 0)$ y $C(4, 3)$ tiene un ángulo recto.
Respuesta: Sí, en $B$
1. ¿Cuál es la pendiente del lado $AB$ ? 0
2. ¿Cuál es la pendiente del lado $BC$ ? indefinida
3. ¿Son las líneas horizontales y verticales perpendiculares? sí
18.
Las rectas $ax + 2y = 6$ y $3x - y = 4$ son perpendiculares. ¿Cuál es el valor de $a$ ?
1. a) $a = \frac{2}{3}$
2. b) $a = -6$
3. c) $a = 6$
4. d) $a = -\frac{2}{3}$
Respuesta: $a = \frac{2}{3}$
Primera recta: $y = -\frac{a}{2}x + 3$ , pendiente $= -\frac{a}{2}$ . Segunda recta: $y = 3x - 4$ , pendiente $= 3$ . Para que sean perpendiculares: $(-\frac{a}{2}) \times 3 = -1$ , así que $-\frac{3a}{2} = -1$ , dando $a = \frac{2}{3}$ .