Una variable ya despejada

Resuelve el sistema: $$\begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases}$$

Identifica la variable despejada: La primera ecuación ya tiene $y$ despejada: $y = 3x - 4$ = Listo para sustituir

Sustituye en la segunda ecuación: Reemplaza $y$ por $(3x - 4)$ en $2x + y = 6$: $2x + (3x - 4) = 6$ = $2x + 3x - 4 = 6$

Resuelve para $x$: $5x - 4 = 6$ $5x = 10$ $x = 2$ = $x = 2$

Sustituye de nuevo para encontrar $y$: $y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$ = $y = 2$

Verifica la solución: Comprueba en ambas ecuaciones: $y = 3(2) - 4 = 2$ ✓ $2(2) + 2 = 6$ ✓ = Solución verificada

Answer: $(2, 2)$

Despejar una variable primero

Resuelve el sistema: $$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Elige qué variable despejar: En la ecuación 1, $x$ tiene coeficiente 1, así que despeja $x$: $x = 8 - 2y$ = $x = 8 - 2y$

Sustituye en la segunda ecuación: Reemplaza $x$ en $3x - y = 3$: $3(8 - 2y) - y = 3$ = $24 - 6y - y = 3$

Resuelve para $y$: $24 - 7y = 3$ $-7y = -21$ $y = 3$ = $y = 3$

Sustituye de nuevo para encontrar $x$: $x = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2$ = $x = 2$

Verifica la solución: Comprueba: $2 + 2(3) = 8$ ✓ $3(2) - 3 = 3$ ✓ = Solución verificada

Answer: $(2, 3)$

Sistema con sustitución simple

Resuelve el sistema: $$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x = y + 1 \end{cases}$$

Identifica la variable despejada: La segunda ecuación tiene $x$ despejada: $x = y + 1$ = Listo para sustituir

Sustituye en la primera ecuación: Reemplaza $x$ por $(y + 1)$ en $2x + 3y = 12$: $2(y + 1) + 3y = 12$ = $2y + 2 + 3y = 12$

Resuelve para $y$: $5y + 2 = 12$ $5y = 10$ $y = 2$ = $y = 2$

Sustituye de nuevo para encontrar $x$: $x = 2 + 1 = 3$ = $x = 3$

Verifica la solución: Comprueba: $2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12$ ✓ $3 = 2 + 1$ ✓ = Solución verificada

Answer: $(3, 2)$

Aplicación: Venta de entradas

Un teatro vendió 150 entradas. Las entradas de adultos cuestan 12 euros y las de niños 8 euros. El ingreso total fue de 1480 euros. ¿Cuántas de cada tipo se vendieron?

Define variables y escribe ecuaciones: Sea $a$ = entradas de adultos, $n$ = entradas de niños Total entradas: $a + n = 150$ Ingreso total: $12a + 8n = 1480$ = Sistema creado

Despeja una variable: De la ecuación 1: $a = 150 - n$ = $a = 150 - n$

Sustituye en la ecuación de ingresos: $12(150 - n) + 8n = 1480$ $1800 - 12n + 8n = 1480$ = $1800 - 4n = 1480$

Resuelve para $n$: $-4n = -320$ $n = 80$ = 80 entradas de niños

Encuentra entradas de adultos: $a = 150 - 80 = 70$ = 70 entradas de adultos

Verifica: $70 + 80 = 150$ ✓ $12(70) + 8(80) = 840 + 640 = 1480$ ✓ = Solución verificada

Answer: 70 entradas de adultos y 80 entradas de niños

Mistake: Olvidar distribuir al sustituir

Why: Al sustituir una expresión como $(3x - 4)$, los paréntesis indican que toda la expresión reemplaza a la variable.

Correct: Siempre usar paréntesis y distribuir: $2(3x - 4) = 6x - 8$, no $2 \cdot 3x - 4 = 6x - 4$

Mistake: Sustituir de nuevo en la ecuación equivocada

Why: Si sustituyes de nuevo en la ecuación que usaste para despejar, podrías obtener una identidad trivial en lugar de un valor.

Correct: Después de encontrar una variable, sustituye en la OTRA ecuación original o en la ecuación de despeje.

Mistake: Errores de signo al despejar variables

Why: Mover términos al otro lado de la igualdad requiere cambiar signos.

Correct: De $x + 2y = 8$, obtenemos $x = 8 - 2y$ (no $x = 8 + 2y$)

Mistake: No verificar la solución en ambas ecuaciones

Why: La solución debe satisfacer ambas ecuaciones simultáneamente. Verificar solo una ecuación puede pasar por alto errores.

Correct: Siempre sustituir $(x, y)$ en AMBAS ecuaciones originales para verificar.

Análisis del punto de equilibrio

Las empresas usan sistemas de ecuaciones para encontrar dónde los ingresos igualan los costos.

Si el costo $C = 500 + 10x$ (500 euros fijos más 10 euros por artículo) y el ingreso $I = 25x$ (25 euros por artículo), el punto de equilibrio es cuando $C = I$: $500 + 10x = 25x$, así que $x = 33,3$ artículos.

Problemas de mezclas

Los científicos y farmacéuticos usan sistemas para crear soluciones con concentraciones específicas.

Para hacer 100 mL de solución ácida al 30% a partir de soluciones al 20% y 50%: Sea $x$ = mL al 20%, $y$ = mL al 50%. Entonces $x + y = 100$ y $0,20x + 0,50y = 30$.

Q: ¿Cuándo debo usar sustitución en lugar de eliminación?

A: Usa sustitución cuando una ecuación ya tiene una variable despejada (como $y = 2x + 3$) o cuando una variable tiene coeficiente 1 o -1. Usa eliminación cuando las variables tienen coeficientes fáciles de igualar o cancelar.

Q: ¿Qué pasa si obtengo algo como $0 = 5$?

A: Si obtienes una afirmación falsa como $0 = 5$, el sistema no tiene solución. Las rectas son paralelas y nunca se cruzan.

Q: ¿Qué pasa si obtengo algo como $0 = 0$?

A: Si obtienes una afirmación verdadera como $0 = 0$ sin variables, el sistema tiene infinitas soluciones. Las ecuaciones representan la misma recta.