Propiedades de las potencias

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Simplifica $2^3 \times 2^4$
1. a) $4^7$
2. b) $2^1$
3. c) $2^{12}$
4. d) $2^7$
Respuesta: $2^7$
Usando la regla del producto: $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ . Cuando multiplicamos potencias con la misma base, sumamos los exponentes.
2.
$5^6 \div 5^2 = 5^n$ . ¿Cuál es el valor de $n$ ?
Respuesta: 4
Usando la regla del cociente: $5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4$ . Cuando dividimos potencias con la misma base, restamos los exponentes. Por lo tanto, $n = 4$ .
3.
¿Cuál es el valor de $7^0$ ?
1. a)No definido
2. b) $1$
3. c) $7$
4. d) $0$
Respuesta: $1$
$7^0 = 1$ . Cualquier número distinto de cero elevado a 0 es igual a 1. Esto se puede demostrar por: $\frac{7^n}{7^n} = 7^{n-n} = 7^0 = 1$ .
4.
Simplifica $(3^2)^3$ usando la regla de la potencia de una potencia.
Respuesta: 729
1. ¿Qué regla usamos para una potencia elevada a una potencia? regla de la potencia de una potencia
2. Multiplica los exponentes: $2 \times 3 = ?$ 6
3. Entonces $(3^2)^3 = 3^?$ 6
4. Calcula $3^6$ 729
5.
Escribe $2^{-4}$ como fracción.
Respuesta: 1/16
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$ . Un exponente negativo significa que tomamos el inverso de la potencia positiva.
6.
¿Cuál expresión es igual a $\frac{x^8}{x^3}$ ?
1. a) $x^{\frac{8}{3}}$
2. b) $x^{24}$
3. c) $x^{11}$
4. d) $x^5$
Respuesta: $x^5$
$\frac{x^8}{x^3} = x^{8-3} = x^5$ . Usando la regla del cociente, restamos los exponentes al dividir.
7.
Simplifica $4^3 \times 4^{-1}$
Respuesta: 16
1. ¿Qué regla se aplica al multiplicar potencias con la misma base? regla del producto
2. Suma los exponentes: $3 + (-1) = ?$ 2
3. Entonces $4^3 \times 4^{-1} = 4^?$ 2
4. Calcula $4^2$ 16
8.
Simplifica $(5 \times 2)^3$ . Calcula el valor final.
Respuesta: 1000
$(5 \times 2)^3 = 10^3 = 1000$ . O usando la regla de la potencia de un producto: $5^3 \times 2^3 = 125 \times 8 = 1000$ .
9.
Simplifica $\frac{6^5}{6^5}$ usando la regla del cociente.
Respuesta: 1
1. Aplica la regla del cociente: $\frac{6^5}{6^5} = 6^{5-?}$ 5
2. ¿Cuánto es $5 - 5$ ? 0
3. Entonces $\frac{6^5}{6^5} = 6^0$ . ¿Cuánto es $6^0$ ? 1
10.
Simplifica $\left(\frac{3}{4}\right)^2$
1. a) $\frac{9}{8}$
2. b) $\frac{3}{8}$
3. c) $\frac{9}{16}$
4. d) $\frac{6}{8}$
Respuesta: $\frac{9}{16}$
$\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$ . La regla de la potencia de un cociente significa que elevamos tanto el numerador como el denominador a la potencia.
11.
Simplifica $\frac{a^5 \times a^3}{a^2}$
Respuesta: a^6
1. Primero, simplifica el numerador usando la regla del producto. $a^5 \times a^3 = a^?$ 8
2. Ahora tenemos $\frac{a^8}{a^2}$ . Aplica la regla del cociente: $a^{8-?}$ 2
3. ¿Cuánto es $8 - 2$ ? 6
4. Respuesta final: $a^?$ 6
12.
Simplifica $(2^3)^2 \times 2^{-2}$ . Da la respuesta numérica.
Respuesta: 16
$(2^3)^2 = 2^6$ . Luego $2^6 \times 2^{-2} = 2^{6+(-2)} = 2^4 = 16$ .
13.
¿Cuál expresión es equivalente a $\frac{x^{-3}}{x^{-5}}$ ?
1. a) $x^2$
2. b) $x^{-2}$
3. c) $x^{15}$
4. d) $x^{-8}$
Respuesta: $x^2$
$\frac{x^{-3}}{x^{-5}} = x^{-3-(-5)} = x^{-3+5} = x^2$ . ¡Restar un negativo es lo mismo que sumar!
14.
Simplifica $\frac{(3^2)^4}{3^5}$
Respuesta: 27
1. Aplica la regla de la potencia de una potencia a $(3^2)^4$ . ¿Cuánto es $2 \times 4$ ? 8
2. Entonces $(3^2)^4 = 3^?$ 8
3. Ahora simplifica $\frac{3^8}{3^5}$ usando la regla del cociente. ¿Cuánto es $8 - 5$ ? 3
4. Calcula $3^3$ 27
15.
Si $2^a = 8$ y $2^b = 32$ , ¿cuánto es $2^{a+b}$ ?
Respuesta: 256
$2^3 = 8$ , entonces $a = 3$ . $2^5 = 32$ , entonces $b = 5$ . Por lo tanto $2^{a+b} = 2^{3+5} = 2^8 = 256$ . También podemos usar la regla del producto: $2^a \times 2^b = 8 \times 32 = 256$ .
16.
Calcula $10^4 \div 10^2$
Respuesta: 100
1. ¿Qué regla usamos al dividir potencias con la misma base? regla del cociente
2. Aplica la regla: $10^4 \div 10^2 = 10^{4-?}$ 2
3. ¿Cuánto es $4 - 2$ ? 2
4. Calcula $10^2$ 100