Seguir el patrón hasta $3^0$

Usa el patrón de las potencias de $3$ para hallar $3^0$.

Empieza por una potencia que conozcas: $3^3 = 3 \times 3 \times 3$ = $3^3 = 27$

Baja el exponente 1: divide entre 3: $27 \div 3 = 9$ = $3^2 = 9$

Bájalo otra vez: divide entre 3: $9 \div 3 = 3$ = $3^1 = 3$

Un último paso hasta el exponente 0: $3 \div 3 = 1$ = $3^0 = 1$

Answer: $3^0 = 1$

Con el cociente de potencias

Calcula $\frac{7^4}{7^4}$ de dos maneras.

Un número distinto de cero dividido entre sí mismo: $\frac{7^4}{7^4} = \frac{2401}{2401}$ = $1$

Aplica la regla del cociente de potencias de igual base: $\frac{7^4}{7^4} = 7^{4-4}$ = $7^0$

Los dos resultados tienen que ser iguales: $7^0 = \frac{7^4}{7^4} = 1$ = $7^0 = 1$

Answer: $\frac{7^4}{7^4} = 7^0 = 1$

$5x^0$ frente a $(5x)^0$

Calcula $5x^0$ y $(5x)^0$ para $x = 2$.

En $5x^0$, el exponente solo afecta a $x$: $5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 2^0$ = $5 \times 1$

Multiplica: $5 \times 1 = 5$ = $5x^0 = 5$

En $(5x)^0$, el exponente afecta a todo el paréntesis: $(5 \times 2)^0 = 10^0$ = $(5x)^0 = 1$

Answer: $5x^0 = 5$ y $(5x)^0 = 1$

$-3^0$ frente a $(-3)^0$

Calcula $-3^0$ y $(-3)^0$.

Sin paréntesis, el exponente solo afecta al $3$: $-3^0 = -(3^0)$ = $-(1)$

Aplica el signo menos: $-(1) = -1$ = $-3^0 = -1$

Con paréntesis, la base es $-3$: $(-3)^0$ tiene una base distinta de cero = $(-3)^0 = 1$

Answer: $-3^0 = -1$ y $(-3)^0 = 1$

Una expresión con varios exponentes cero

Calcula $4^0 + 2^3 \times 6^0 - \left(\frac{1}{2}\right)^0$.

Sustituye cada potencia de exponente cero por 1: $4^0 = 1$, $6^0 = 1$, $\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$ = $1 + 2^3 \times 1 - 1$

Calcula la potencia que queda: $2^3 = 8$ = $1 + 8 \times 1 - 1$

Multiplica primero: $8 \times 1 = 8$ = $1 + 8 - 1$

Suma y resta de izquierda a derecha: $1 + 8 - 1$ = $8$

Answer: $8$

Mistake: Escribir $a^0 = 0$, por ejemplo $9^0 = 0$

Why: El exponente $0$ no significa multiplicar por cero. Al bajar por el patrón se divide entre la base, y $9 \div 9 = 1$.

Correct: $9^0 = 1$, porque $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ y $\frac{9}{9} = 1$

Mistake: Escribir $a^0 = a$, por ejemplo $9^0 = 9$

Why: Esa es la regla del exponente $1$: $9^1 = 9$. El exponente $0$ está un paso más abajo, así que se divide otra vez entre $9$.

Correct: $9^1 = 9$ pero $9^0 = 1$

Mistake: Escribir $5x^0 = 1$

Why: El exponente solo afecta a $x$, no al coeficiente $5$. Solo $x^0$ se convierte en $1$.

Correct: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$, mientras que $(5x)^0 = 1$

Mistake: Escribir $-3^0 = 1$

Why: Sin paréntesis, la base es $3$, no $-3$. El signo menos se queda delante del resultado.

Correct: $-3^0 = -(3^0) = -1$, mientras que $(-3)^0 = 1$

Valor posicional y potencias de diez

Cada posición de nuestro sistema de numeración es una potencia de diez. Las unidades corresponden a $10^0 = 1$.

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$, y el último término vale $2 \times 1 = 2$.

Números binarios en los ordenadores

Los ordenadores guardan los números en binario. Cada posición binaria es una potencia de dos, y la de la derecha vale $2^0 = 1$.

El número binario $1011$ significa $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$.

Valor inicial de un modelo de crecimiento

Los biólogos describen una población que se duplica cada hora con $P = P_0 \times 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas.

Para $P = 200 \times 2^t$, a las 3 horas $P = 200 \times 2^3 = 1600$, y al principio $P = 200 \times 2^0 = 200$.

Q: ¿Por qué $a^0$ es 1 y no 0?

A: Porque cada vez que el exponente baja 1 se divide entre la base. Desde $5^1 = 5$, un paso más abajo da $5 \div 5 = 1$. La regla del cociente dice lo mismo: $\frac{5^3}{5^3} = 5^0$, y cualquier número distinto de cero dividido entre sí mismo es $1$.

Q: ¿Cuánto vale $0^0$?

A: En este nivel, $0^0$ se deja sin definir. El argumento del patrón obliga a dividir entre la base, y no se puede dividir entre $0$. Por eso la regla se escribe $a^0 = 1$ para $a \neq 0$.

Q: ¿La regla funciona con números negativos y fracciones?

A: Sí, siempre que la base no sea cero y toda la base esté entre paréntesis: $(-8)^0 = 1$ y $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$.

Q: ¿Por qué mi calculadora da $-1$ para $-3^0$?

A: La calculadora sigue la jerarquía de las operaciones: la potencia va antes que el signo menos, así que calcula $-(3^0) = -1$. Escribe $(-3)^0$ con paréntesis para obtener $1$.