Una división exacta

Calcula $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3)$.

Divide los coeficientes: $8 \div 2 = 4$ = $4$

Resta los exponentes (regla del cociente): $10^9 \div 10^3 = 10^{9-3} = 10^6$ = $10^6$

Junta las partes y revisa el coeficiente: $4 \times 10^6$, y $1 \le 4 < 10$ = Ya está normalizado

Answer: $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3) = 4 \times 10^6$

El coeficiente baja de 1

Calcula $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2)$ y escribe el resultado en notación científica.

Divide los coeficientes: $1{,}2 \div 3 = 0{,}4$ = $0{,}4$

Resta los exponentes: $10^{5-2} = 10^3$ = $0{,}4 \times 10^3$

Revisa el coeficiente: $0{,}4 < 1$, así que todavía no es notación científica = Normalizar

Mueve la coma un lugar a la derecha y baja el exponente en 1: $0{,}4 \times 10^3 = (4 \times 10^{-1}) \times 10^3 = 4 \times 10^2$ = $4 \times 10^2$

Answer: $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2) = 4 \times 10^2 = 400$

Dividir con exponentes negativos

Calcula $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7})$.

Divide los coeficientes: $6 \div 2 = 3$ = $3$

Escribe la resta de exponentes completa: $-4 - (-7)$ = Se resta un negativo

Restar un negativo es sumar: $-4 - (-7) = -4 + 7 = 3$ = $10^3$

Junta las partes y revisa: $3 \times 10^3$, y $1 \le 3 < 10$ = $3 \times 10^3$

Answer: $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7}) = 3 \times 10^3 = 3000$

Un cociente que no termina

Calcula $(7 \times 10^8) \div (3 \times 10^3)$. Redondea el coeficiente a 3 cifras significativas.

Divide los coeficientes: $7 \div 3 = 2{,}333\ldots$ (el 3 se repite sin fin) = $2{,}333\ldots$

Redondea a 3 cifras significativas: Cifras $2$, $3$, $3$; la siguiente cifra es $3$, así que se redondea hacia abajo = $2{,}33$

Resta los exponentes: $10^{8-3} = 10^5$ = $10^5$

Junta las partes con el signo de aproximadamente igual: $2{,}33 \times 10^5$, y $1 \le 2{,}33 < 10$ = $\approx 2{,}33 \times 10^5$

Answer: $(7 \times 10^8) \div (3 \times 10^3) \approx 2{,}33 \times 10^5$

¿Qué edad tiene la luz del Sol?

El Sol está a unos $1{,}5 \times 10^{11}$ m de la Tierra. La luz recorre $3 \times 10^8$ m por segundo. ¿Cuántos segundos tarda la luz del Sol en llegarnos?

Elige la operación: tiempo = distancia ÷ velocidad: $(1{,}5 \times 10^{11}) \div (3 \times 10^8)$ = División

Divide los coeficientes: $1{,}5 \div 3 = 0{,}5$ = $0{,}5$

Resta los exponentes: $10^{11-8} = 10^3$ = $0{,}5 \times 10^3$

Normaliza: $0{,}5 \times 10^3 = 5 \times 10^2$ = $5 \times 10^2$ s

Hazlo fácil de imaginar: $500 \div 60 \approx 8{,}3$ = Unos 8,3 minutos

Answer: $5 \times 10^2 = 500$ segundos, algo más de 8 minutos

Mistake: Dividir los exponentes: $10^8 \div 10^2 = 10^4$

Why: El exponente cuenta cuántos dieces se multiplican. Al dividir se simplifican dieces, así que el exponente se resta, no se divide.

Correct: Resta: $10^8 \div 10^2 = 10^{8-2} = 10^6$ (ocho dieces entre dos dieces dejan seis dieces).

Mistake: Restar en el orden equivocado: $10^3 \div 10^7 = 10^4$

Why: En la división el orden importa. El exponente del número ENTRE el que divides se resta del exponente de arriba.

Correct: Siempre arriba menos abajo: $10^3 \div 10^7 = 10^{3-7} = 10^{-4}$, un número pequeño, como es lógico al dividir entre algo mayor.

Mistake: Normalizar en la dirección equivocada: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^4$

Why: Si el coeficiente se hace 10 veces mayor, la potencia de diez tiene que hacerse 10 veces menor; si no, el valor pasa de $400$ a $40\,000$.

Correct: Coeficiente un lugar hacia arriba, exponente uno hacia abajo: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$. Comprobación: ambos valen $400$.

Mistake: Perder un signo con exponentes negativos: $10^5 \div 10^{-3} = 10^2$

Why: Se perdió el segundo signo menos. Restar $-3$ es lo mismo que sumar $3$.

Correct: $10^5 \div 10^{-3} = 10^{5-(-3)} = 10^{5+3} = 10^8$. Dividir entre un número diminuto da un resultado grande.

Astronomía: tiempo de viaje de la luz

Los astrónomos dividen una distancia entre la velocidad de la luz para saber cuánto tiempo lleva viajando la luz. Por eso vemos el Sol como era hace unos minutos y las estrellas lejanas como eran hace años.

La Luna está a unos $3{,}84 \times 10^8$ m. La luz tarda $(3{,}84 \times 10^8) \div (3 \times 10^8) = 1{,}28 \times 10^0 = 1{,}28$ segundos en llegar.

Geografía: densidad de población

La densidad de población es el número de habitantes dividido entre la superficie. Indica lo poblado que está un país o una ciudad, y así comparan los urbanistas lugares de tamaños muy distintos.

Alemania tiene unos $8{,}4 \times 10^7$ habitantes en unos $3{,}5 \times 10^5$ km². Densidad: $(8{,}4 \div 3{,}5) \times 10^{7-5} = 2{,}4 \times 10^2$, unos $240$ habitantes por km².

Economía: cantidad por habitante

Las noticias dan cifras nacionales (presupuestos, deudas, gasto total) en miles de millones o en billones. Al dividirlas entre la población se obtiene una cantidad por persona fácil de imaginar.

Un país de $4 \times 10^7$ habitantes gasta $1{,}2 \times 10^{11}$ dólares al año en comida: $(1{,}2 \div 4) \times 10^{11-7} = 0{,}3 \times 10^4 = 3 \times 10^3$, unos 3000 dólares por persona.

Q: ¿Puede salir un coeficiente mayor que 10 al dividir?

A: No. Los dos coeficientes están entre 1 y 10, así que su cociente siempre es mayor que $0{,}1$ y menor que $10$. Por eso, al dividir, solo hay que normalizar en una dirección: un coeficiente menor que 1 avanza un lugar a la derecha y el exponente baja en 1.

Q: ¿Por qué se restan los exponentes?

A: Porque $10^m$ son $m$ dieces multiplicados. Dividir entre $10^n$ simplifica $n$ de esos dieces: $\frac{10^5}{10^2} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10} = 10^3$. Es la regla del cociente $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$.

Q: ¿Y si los dos números tienen el mismo exponente?

A: Entonces las potencias se simplifican a $10^0 = 1$ y solo cuentan los coeficientes: $(9 \times 10^4) \div (3 \times 10^4) = 3 \times 10^0 = 3$.

Q: ¿Cuántas cifras significativas debo conservar?

A: Normalmente tantas como tenga el dato menos preciso del problema. Si los datos tienen 2 o 3 cifras significativas, redondea también el coeficiente a 2 o 3. Conservar más cifras de las que dan los datos aparenta una precisión que no existe.