Comprobar LAL paso a paso

En $\triangle ABC$: $AB = 6$ cm, $\angle B = 50°$, $BC = 8$ cm. En $\triangle DEF$: $DE = 6$ cm, $\angle E = 50°$, $EF = 8$ cm. ¿Son congruentes los triángulos? Si $AC \approx 6{,}2$ cm, ¿cuánto mide $DF$?

Anota las partes que coinciden: $AB = DE = 6$ cm, $BC = EF = 8$ cm, $\angle B = \angle E = 50°$ = Dos pares de lados y un par de ángulos

Comprueba que el ángulo está comprendido: Los lados $AB$ y $BC$ se unen en $B$; los lados $DE$ y $EF$ se unen en $E$ = $\angle B$ y $\angle E$ son los ángulos comprendidos

Aplica LAL: Coinciden dos lados y el ángulo comprendido = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Usa las partes correspondientes: $AC$ corresponde a $DF$ (primera y tercera letras) = $DF = AC \approx 6{,}2$ cm

Answer: Sí, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LAL, así que $DF \approx 6{,}2$ cm.

¿De verdad está comprendido el ángulo?

En $\triangle PQR$: $PQ = 5$, $QR = 7$, $\angle R = 40°$. En $\triangle XYZ$: $XY = 5$, $YZ = 7$, $\angle Z = 40°$. ¿Puedes usar LAL?

Encuentra el punto común de los dos lados: $PQ$ y $QR$ comparten el punto $Q$ = El ángulo comprendido sería $\angle Q$

Compara con el ángulo dado: El ángulo dado es $\angle R$, que no está entre $PQ$ y $QR$ = El ángulo no está comprendido

Nombra el patrón: Lado, lado y luego un ángulo que no está entre ellos = Es LLA

Concluye: LLA no es un criterio de congruencia = No se puede concluir nada

Answer: No. El ángulo dado no está entre los dos lados (LLA), así que LAL no se aplica y los triángulos podrían no ser congruentes.

Ángulo oculto: ángulos opuestos por el vértice

Los segmentos $AE$ y $BD$ se cortan en $C$. $C$ es el punto medio de ambos segmentos: $AC = CE = 4$ cm y $BC = CD = 5$ cm. Si $AB = 7$ cm, ¿cuánto mide $DE$?

Usa los puntos medios: $AC = CE = 4$ cm y $BC = CD = 5$ cm = Dos pares de lados iguales

Encuentra el ángulo oculto: $\angle ACB$ y $\angle ECD$ son opuestos por el vértice = $\angle ACB = \angle ECD$

Comprueba que está comprendido: $\angle ACB$ está entre $AC$ y $BC$; $\angle ECD$ está entre $EC$ y $DC$ = $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ por LAL

Usa las partes correspondientes: $AB$ corresponde a $ED$ = $DE = AB = 7$ cm

Answer: $DE = 7$ cm, porque $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ por LAL.

Lado oculto: un lado común

En el cuadrilátero $ABCD$, $AB = CB$ y la diagonal $BD$ es bisectriz de $\angle ABC$, así que $\angle ABD = \angle CBD = 35°$. Si $\angle BAD = 80°$, halla $\angle BCD$ y $\angle ADB$.

Escribe las partes dadas: $AB = CB$ y $\angle ABD = \angle CBD$ = Un par de lados, un par de ángulos

Encuentra el lado oculto: Los dos triángulos contienen $BD$, y $BD = BD$ = Lado común

Aplica LAL: El ángulo en $B$ está entre $AB$ y $BD$ (y entre $CB$ y $BD$) = $\triangle ABD \cong \triangle CBD$

Usa las partes correspondientes y la suma de ángulos: $\angle BCD = \angle BAD = 80°$; $\angle ADB = 180° - 35° - 80°$ = $\angle BCD = 80°$, $\angle ADB = 65°$

Answer: $\angle BCD = 80°$ y $\angle ADB = 65°$.

Por qué falla LLA: dos triángulos con los mismos datos

Dibuja un triángulo con $\angle A = 30°$, $AB = 10$ y $BC = 6$. ¿Cuántos triángulos distintos cumplen esta descripción?

Halla la altura de $B$ sobre la recta $AC$: En un triángulo rectángulo, el lado opuesto a un ángulo de $30°$ mide la mitad de la hipotenusa: $h = 10 \div 2$ = $h = 5$

Compara $BC$ con la altura: $5 < 6 < 10$: el lado $BC$ es más largo que la altura pero más corto que $AB$ = $BC$ puede llegar a la recta $AC$ en dos puntos

Halla la distancia de cada punto al pie de la altura: $\sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{11} \approx 3{,}32$ = Un punto a cada lado del pie

Halla las dos longitudes posibles de $AC$: El pie está a $\approx 8{,}66$ de $A$: $8{,}66 - 3{,}32$ y $8{,}66 + 3{,}32$ = $AC \approx 5{,}34$ o $AC \approx 11{,}98$

Answer: Dos triángulos distintos, con $AC \approx 5{,}34$ o $AC \approx 11{,}98$. Los mismos datos lado, lado, ángulo dan dos formas, así que LLA no puede demostrar la congruencia.

Mistake: Usar LAL cuando el ángulo no está entre los dos lados

Why: Dos lados y un ángulo no comprendido (LLA) pueden describir dos triángulos distintos, como muestra el ejemplo de $30°$, $10$ y $6$.

Correct: Busca el punto que comparten los dos lados. Solo el ángulo en ese vértice sirve para LAL.

Mistake: Emparejar los vértices en el orden equivocado

Why: Escribir $\triangle ABC \cong \triangle FED$ cuando $B$ corresponde a $E$ y $A$ a $D$ empareja partes equivocadas y lleva a conclusiones falsas.

Correct: Escribe los vértices en el orden de la correspondencia. Si $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$, escribe $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

Mistake: Pensar que falta información porque una parte no aparece en el enunciado

Why: Los ángulos opuestos por el vértice y los lados comunes son iguales aunque nadie lo diga. Los alumnos no los ven y abandonan una demostración que sí funciona.

Correct: Antes de decidir, busca segmentos que se cruzan (ángulos opuestos por el vértice) y un lado que pertenece a los dos triángulos (lado común).

Mistake: Usar las partes correspondientes antes de demostrar la congruencia

Why: Las partes correspondientes son iguales solo porque los triángulos son congruentes. Sin esa prueba, estás suponiendo lo que quieres demostrar.

Correct: Primero demuestra $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (por ejemplo por LAL) y después deduce las demás partes iguales.

Caballetes plegables

Los caballetes de carpintero, las escaleras de tijera y los caballetes de pintor son dos patas unidas por una bisagra. La longitud de las patas y el ángulo de abertura deciden toda la forma.

Dos caballetes de pintor tienen patas de 150 cm abiertas $25°$ en la bisagra. Por LAL, los triángulos que forman son congruentes, así que sus pies quedan a la misma distancia.

Medir el ancho de un estanque

Los topógrafos usan LAL para hallar una distancia que no pueden recorrer, construyendo una copia congruente del triángulo en tierra firme.

Para medir $AB$ a través de un estanque, se elige un punto $C$ en tierra. Se prolonga $AC$ más allá de $C$ hasta $D$ con $CD = AC$, y $BC$ más allá de $C$ hasta $E$ con $CE = BC$. Los ángulos en $C$ son opuestos por el vértice, así que $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ por LAL y $DE = AB$.

Las agujas del reloj

Las dos agujas de un reloj son dos lados de longitud fija, y la hora fija el ángulo entre ellas.

A las 2:00 y a las 10:00 el ángulo entre las agujas es de $60°$ las dos veces, así que por LAL las puntas están a la misma distancia en ambos momentos.

Q: ¿Por qué LLA no es un criterio de congruencia?

A: Porque el lado opuesto al ángulo dado puede girar como un compás y cortar el tercer lado en dos puntos. Con $\angle A = 30°$, $AB = 10$ y $BC = 6$ obtienes dos triángulos, uno con $AC \approx 5{,}34$ y otro con $AC \approx 11{,}98$.

Q: ¿Funciona LLA alguna vez?

A: Sí, en un caso especial: cuando el ángulo dado está opuesto al **mayor** de los dos lados dados, solo hay un triángulo posible. El ejemplo más conocido es un ángulo recto opuesto a la hipotenusa (el criterio hipotenusa-cateto). En general, no uses LLA.

Q: ¿LAL es un postulado o un teorema?

A: Muchos libros aceptan LAL como postulado (una regla básica sin demostración) y lo usan para demostrar ALA y LLL. Euclides lo demostró en su proposición 4 colocando un triángulo sobre el otro. En cualquier caso, puedes usarlo en tus demostraciones.

Q: ¿Cómo elijo entre LLL, LAL, ALA y AAL?

A: Cuenta lo que conoces. Tres lados: LLL. Dos lados: comprueba si el ángulo conocido está entre ellos (LAL) o no (LLA, sin conclusión). Dos ángulos: comprueba si el lado conocido está entre ellos (ALA) o no (AAL).