Congruencia LLL

El **criterio de congruencia LLL (Lado-Lado-Lado)** dice: si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. $$\text{Si } \overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}$$ $$\text{Entonces } \triangle ABC \cong \triangle DEF$$ No necesitas medir ningún ángulo. Tres longitudes de lados determinan un triángulo por completo: esto se llama **rigidez del triángulo**. Una vez elegidos los tres lados, los ángulos quedan fijados, así que todo triángulo con esos lados es el mismo triángulo, solo trasladado, girado o reflejado. **Emparejar los lados:** el orden de las letras en $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ indica qué partes se corresponden: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Empareja el lado más corto con el más corto, el mediano con el mediano y el más largo con el más largo, y después escribe los vértices en el orden que corresponde. En el plano cartesiano calculas cada lado con la **fórmula de la distancia**: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Comprobar LLL con longitudes dadas

En $\triangle ABC$: $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm, $CA = 6$ cm. En $\triangle DEF$: $DE = 5$ cm, $EF = 7$ cm, $FD = 6$ cm. ¿Son congruentes los triángulos?

Compara el primer par de lados: $AB = DE = 5$ cm = $\overline{AB} \cong \overline{DE}$

Compara el segundo par: $BC = EF = 7$ cm = $\overline{BC} \cong \overline{EF}$

Compara el tercer par: $CA = FD = 6$ cm = $\overline{CA} \cong \overline{FD}$

Aplica LLL: Los tres pares de lados son congruentes = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LLL

Answer: Sí, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LLL. No hizo falta ningún ángulo.

Escribir el enunciado de congruencia en el orden correcto

En $\triangle PQR$: $PQ = 8$, $QR = 11$, $RP = 9$. En $\triangle XYZ$: $XY = 9$, $YZ = 8$, $ZX = 11$. Escribe un enunciado de congruencia correcto.

Empareja los lados por su longitud: $8$: $PQ \leftrightarrow YZ$, $\quad 9$: $RP \leftrightarrow XY$, $\quad 11$: $QR \leftrightarrow ZX$ = Tres pares iguales, así que se aplica LLL

Busca la pareja de P: En $P$ se juntan los lados $8$ y $9$. En $\triangle XYZ$ los lados $8$ ($YZ$) y $9$ ($XY$) se juntan en $Y$ = $P \leftrightarrow Y$

Busca las parejas de Q y R: $Q$: se juntan los lados $8$ y $11$, en $\triangle XYZ$ es $Z$. $R$: se juntan los lados $9$ y $11$, es $X$ = $Q \leftrightarrow Z$, $R \leftrightarrow X$

Escribe el enunciado en el orden que corresponde: $P, Q, R$ van con $Y, Z, X$ = $\triangle PQR \cong \triangle YZX$

Answer: $\triangle PQR \cong \triangle YZX$ por LLL. Escribir $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ sería incorrecto, porque $P$ no corresponde a $X$.

LLL en el plano cartesiano

Demuestra que $\triangle ABC$ con $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(2, 6)$ es congruente con $\triangle DEF$ con $D(-7, -1)$, $E(-5, -5)$, $F(-2, -2)$.

Calcula AB y DE con la fórmula de la distancia: $AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$, $\quad DE = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}$ = $AB = DE = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Calcula BC y EF: $BC = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18}$, $\quad EF = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$ = $BC = EF = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Calcula CA y FD: $CA = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{26}$, $\quad FD = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{26}$ = $CA = FD = \sqrt{26}$

Aplica LLL: Tres pares de lados iguales = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LLL

Answer: Los tres pares de lados son iguales ($\sqrt{20}$, $\sqrt{18}$, $\sqrt{26}$), así que $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LLL. El triángulo $DEF$ es el triángulo $ABC$ girado $90°$ y trasladado.

Demostración en dos columnas con un lado común

En el deltoide $ABCD$, $AB = AD$ y $CB = CD$. Se traza la diagonal $AC$. Demuestra que $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ y que $\angle B \cong \angle D$.

Afirmación 1 y su razón: $\overline{AB} \cong \overline{AD}$ = Razón: dato

Afirmación 2 y su razón: $\overline{CB} \cong \overline{CD}$ = Razón: dato

Afirmación 3: el lado común: $\overline{AC} \cong \overline{AC}$ = Razón: propiedad reflexiva (un segmento es congruente consigo mismo)

Afirmación 4: los triángulos: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ = Razón: LLL (afirmaciones 1, 2, 3)

Afirmación 5: los ángulos: $\angle ABC \cong \angle ADC$ = Razón: partes correspondientes de triángulos congruentes

Answer: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ por LLL, y después $\angle B \cong \angle D$ porque las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes. El lado común $AC$ es el tercer par de lados.

Usar álgebra con LLL

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LLL. $AB = 2x + 1$, $DE = 11$, $BC = 3y - 2$, $EF = 16$ y $CA = FD = 9$. Halla $x$, $y$ y el perímetro de $\triangle ABC$.

Los lados correspondientes son iguales: AB = DE: $2x + 1 = 11 \Rightarrow 2x = 10$ = $x = 5$

BC = EF: $3y - 2 = 16 \Rightarrow 3y = 18$ = $y = 6$

Escribe los tres lados de ABC: $AB = 11$, $BC = 16$, $CA = 9$ = Lados 11, 16 y 9

Suma los lados: $11 + 16 + 9$ = Perímetro $= 36$

Answer: $x = 5$, $y = 6$, y el perímetro de $\triangle ABC$ es $36$.

LLL es el criterio que puedes comprobar solo con una regla, y explica por qué los triángulos están por todas partes en la construcción: - **Puentes y tejados**: un triángulo hecho con tres vigas fijas no puede cambiar de forma, por eso las cerchas se construyen con triángulos. Un marco cuadrado con esquinas articuladas se aplasta hasta ser un rombo, un triángulo nunca - **Fabricación**: para comprobar que una pieza triangular coincide con la plantilla, los operarios miden solo los tres lados - **Mapas y topografía**: con coordenadas puedes demostrar que dos parcelas triangulares son iguales solo calculando distancias - **Demostraciones**: LLL suele ser el primer paso de una demostración, y después la propiedad **las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes** te da los ángulos iguales sin esfuerzo En las lecciones sobre triángulos congruentes y sobre ALA y AAL conociste los otros criterios. LLL es el único que no necesita ningún ángulo.

Mistake: Escribir los vértices en el orden equivocado, como $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ cuando $P$ corresponde a $Y$

Why: Un enunciado de congruencia promete que las primeras letras se corresponden, igual que las segundas y las terceras. El orden alfabético no es el orden de correspondencia.

Correct: Empareja primero los lados por su longitud y luego busca en qué vértices se juntan los lados correspondientes. Escribe los vértices en ese orden: $\triangle PQR \cong \triangle YZX$.

Mistake: Pensar que LLL también sirve para cuadriláteros

Why: Un cuadrado de lado 4 y un rombo estrecho de lado 4 tienen cuatro pares de lados iguales, pero no son congruentes. Cuatro lados no fijan los ángulos.

Correct: Las longitudes de los lados solo fijan la forma de un triángulo. En los cuadriláteros también necesitas ángulos o una diagonal.

Mistake: Olvidar el lado común en una demostración

Why: Cuando dos triángulos comparten un lado, muchos estudiantes encuentran solo dos pares de lados iguales y se detienen, o usan ese lado sin dar una razón.

Correct: Escribe el lado común como una afirmación propia, $\overline{AC} \cong \overline{AC}$, con la razón propiedad reflexiva. Cuenta como el tercer par.

Mistake: Deducir la congruencia de perímetros iguales

Why: Los triángulos de lados 3, 4, 5 y 4, 4, 4 tienen ambos perímetro 12, pero sus formas son distintas.

Correct: LLL necesita tres pares separados de lados iguales, no solo la misma suma.

Cerchas de tejado

Los carpinteros construyen tejados con triángulos idénticos, porque un triángulo con lados fijos no se puede deformar.

Cada cercha de una caseta de jardín está hecha con vigas de 3 m, 4 m y 5 m. Por LLL todas las cerchas son congruentes, así que el tejado es igual en toda su longitud.

Campos en una cuadrícula de mapa

Los planificadores comparan parcelas con coordenadas y la fórmula de la distancia sin tener que visitarlas.

El campo 1 tiene vértices $(0, 0)$, $(6, 0)$ y $(0, 8)$, el campo 2 tiene vértices $(10, 2)$, $(10, 8)$ y $(18, 2)$. Ambos tienen lados de 6, 8 y 10 unidades, así que son congruentes por LLL.

Control de calidad de baldosas

Una fábrica de baldosas comprueba las baldosas triangulares con una plantilla midiendo los tres lados.

La plantilla tiene lados de 12 cm, 15 cm y 20 cm. Una baldosa de 20 cm, 12 cm y 15 cm pasa el control: el orden de medida no importa, solo cuentan los tres pares.

**LLL**: si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro, los triángulos son congruentes

No hacen falta ángulos: tres longitudes de lados determinan un triángulo por completo (rigidez del triángulo)

Empareja el más corto con el más corto, el mediano con el mediano y el más largo con el más largo, y luego escribe los vértices en el orden que corresponde

En el plano cartesiano, calcula cada lado con la fórmula de la distancia $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Un lado común a dos triángulos es congruente consigo mismo (propiedad reflexiva) y cuenta como un par

Después de LLL, las partes correspondientes dan los ángulos iguales; LLL no sirve para cuadriláteros

Q: ¿Por qué funciona LLL sin ningún ángulo?

A: Intenta construir un triángulo con tres palitos de longitud fija. Una vez unidos los extremos, solo hay una forma posible, no puedes abrir ni cerrar los ángulos. Todo triángulo con esos tres lados es el mismo triángulo, como mucho girado o reflejado. Por eso bastan tres lados.

Q: ¿Por qué LLL no sirve para cuadriláteros?

A: Cuatro palitos unidos por las esquinas todavía se pueden mover: un cuadrado de lado 4 se puede empujar hasta formar un rombo de lado 4. Los lados siguen iguales, los ángulos cambian. Una diagonal divide la figura en dos triángulos y la hace rígida.

Q: ¿Importa el orden de los lados?

A: No para decidir si hay congruencia: los lados 5, 6, 8 y 8, 5, 6 dan triángulos congruentes. Sí importa en el enunciado de congruencia: las letras de los vértices deben escribirse en el orden que corresponde.

Q: ¿Qué diferencia hay entre la congruencia LLL y la semejanza LLL?

A: La congruencia LLL necesita tres pares de lados iguales, así que los triángulos tienen el mismo tamaño. La semejanza LLL solo necesita que las tres razones entre lados correspondientes sean iguales, así que un triángulo puede ser una copia ampliada del otro.

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Congruencia LLL

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Geometría / Congruencia & Semejanza

Congruencia LLL

Aprende a demostrar que dos triángulos son congruentes con el criterio LLL (Lado-Lado-Lado), a emparejar lados correspondientes y a comprobar LLL en el plano cartesiano.

Intermedio25 min

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