Comprobar la semejanza LLL

$\triangle ABC$ tiene lados $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 8$. $\triangle DEF$ tiene lados $DE = 6$, $EF = 9$, $FD = 12$. ¿Son semejantes los triángulos?

Ordena los lados de cada triángulo del más corto al más largo: $\triangle ABC$: $4, 6, 8$. $\triangle DEF$: $6, 9, 12$ = Parejas: $4 \leftrightarrow 6$, $6 \leftrightarrow 9$, $8 \leftrightarrow 12$

Divide cada lado de $\triangle DEF$ entre el lado correspondiente de $\triangle ABC$: $\frac{6}{4} = 1{,}5$, $\frac{9}{6} = 1{,}5$, $\frac{12}{8} = 1{,}5$ = Las tres razones valen $1{,}5$

Aplica la semejanza LLL: Tres razones iguales, así que los lados son proporcionales = $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $k = 1{,}5$

Answer: Sí, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ por la semejanza LLL con razón de semejanza $k = 1{,}5$.

Cuando la semejanza LLL falla

Un triángulo tiene lados $5$, $7$, $9$. Otro tiene lados $10$, $14$, $17$. ¿Son semejantes?

Empareja los lados en orden: $5 \leftrightarrow 10$, $7 \leftrightarrow 14$, $9 \leftrightarrow 17$ = Lados ordenados del más corto al más largo

Calcula las tres razones: $\frac{10}{5} = 2$, $\frac{14}{7} = 2$, $\frac{17}{9} \approx 1{,}89$ = La tercera razón es distinta

Decide: LLL exige que las TRES razones sean iguales. Dos de tres no bastan. = No son semejantes

Answer: No. Las razones son $2$, $2$ y aproximadamente $1{,}89$, así que los triángulos no son semejantes. En un triángulo semejante el lado más largo tendría que medir $9 \times 2 = 18$.

Semejanza LAL y un lado que falta

En $\triangle PQR$: $PQ = 5$, $QR = 8$, $\angle Q = 60°$, $PR = 7$. En $\triangle XYZ$: $XY = 10$, $YZ = 16$, $\angle Y = 60°$. ¿Son semejantes los triángulos? Si lo son, halla $XZ$.

Compara las dos parejas de lados: $\frac{XY}{PQ} = \frac{10}{5} = 2$, $\frac{YZ}{QR} = \frac{16}{8} = 2$ = Misma razón $k = 2$

Comprueba que el ángulo es el ángulo comprendido: $\angle Q$ está entre $PQ$ y $QR$, $\angle Y$ está entre $XY$ y $YZ$, y $\angle Q = \angle Y = 60°$ = Los ángulos comprendidos son iguales

Aplica la semejanza LAL: Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido = $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$, $k = 2$

Usa la razón de semejanza para el lado que falta: $XZ = k \cdot PR = 2 \cdot 7$ = $XZ = 14$

Answer: Sí, $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$ por la semejanza LAL con $k = 2$, y $XZ = 14$.

Triángulos encajados con un ángulo común

En $\triangle ABC$, el punto $D$ está en $AB$ y el punto $E$ está en $AC$. $AD = 4$, $AB = 12$, $AE = 5$, $AC = 15$ y $DE = 6$. Demuestra que $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ y halla $BC$.

Encuentra el ángulo común: Los dos triángulos contienen el ángulo en $A$ = $\angle DAE = \angle BAC$

Compara los lados que forman el ángulo $A$: $\frac{AB}{AD} = \frac{12}{4} = 3$, $\frac{AC}{AE} = \frac{15}{5} = 3$ = Misma razón $k = 3$

Aplica la semejanza LAL: El ángulo común es el ángulo comprendido de las dos parejas de lados = $\triangle ADE \sim \triangle ABC$

Halla el tercer lado: $BC = k \cdot DE = 3 \cdot 6$ = $BC = 18$

Answer: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ por la semejanza LAL (ángulo común $A$, $k = 3$), así que $BC = 18$. Usa los lados completos $AB$ y $AC$, no los trozos $DB$ y $EC$.

Razón de perímetros y razón de áreas

Un triángulo rectángulo tiene lados $3$, $4$, $5$. Otro triángulo tiene lados $9$, $12$, $15$. Compara sus perímetros y sus áreas.

Comprueba la semejanza LLL: $\frac{9}{3} = \frac{12}{4} = \frac{15}{5} = 3$ = Semejantes, $k = 3$

Compara los perímetros: $3 + 4 + 5 = 12$ y $9 + 12 + 15 = 36$, $\frac{36}{12} = 3$ = Razón de perímetros $= k = 3$

Compara las áreas (los catetos son la base y la altura): $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ y $\frac{9 \cdot 12}{2} = 54$, $\frac{54}{6} = 9$ = Razón de áreas $= 9$

Relaciona la razón de áreas con $k$: $k^2 = 3^2 = 9$ = Razón de áreas $= k^2$

Answer: Los perímetros son $12$ y $36$ (razón $3 = k$), las áreas son $6$ y $54$ (razón $9 = k^2$).

Mistake: Emparejar los lados en el orden en que aparecen, por ejemplo $4, 6, 8$ con $12, 9, 6$, y obtener las razones $3$, $1{,}5$, $0{,}75$

Why: El orden en que se escriben las longitudes no dice qué lados se corresponden. Las parejas equivocadas dan razones distintas incluso en triángulos semejantes.

Correct: Ordena primero los dos triángulos del lado más corto al más largo: $4, 6, 8$ y $6, 9, 12$. Así todas las razones valen $1{,}5$.

Mistake: Usar LAL con un ángulo que no está entre los dos lados

Why: Dos lados proporcionales y un ángulo no comprendido (LLA) no fijan la forma: dos triángulos distintos pueden tener los mismos dos lados y el mismo ángulo opuesto a uno de ellos.

Correct: Comprueba que el ángulo igual está formado exactamente por los dos lados que has comparado. Si no, la semejanza LAL no se aplica.

Mistake: Pensar que la razón de áreas también es $k$

Why: Un área es longitud por longitud, así que los dos factores crecen con $k$: el área crece con $k \cdot k = k^2$.

Correct: Razón de perímetros $= k$, razón de áreas $= k^2$. Con $k = 3$, el área es $9$ veces mayor, no $3$ veces.

Mistake: Dividir el grande entre el pequeño en una pareja y el pequeño entre el grande en otra, por ejemplo $\frac{6}{4} = 1{,}5$ pero $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Why: Entonces las razones parecen distintas aunque los lados sean proporcionales.

Correct: Divide siempre en el mismo sentido: lado de la imagen entre lado del original (o al revés en todas las parejas).

Ampliar un logotipo

Los diseñadores amplían los logotipos de modo que cada longitud crezca con la misma razón. El triángulo ampliado es semejante al original por la semejanza LLL, así que conserva exactamente su forma.

Un logotipo triangular de lados $2$ cm, $3$ cm y $4$ cm se imprime en un cartel con $k = 5$: los lados pasan a medir $10$ cm, $15$ cm y $20$ cm.

Medir el ancho de un lago

Los topógrafos no pueden tender una cinta métrica sobre el agua. Marcan dos puntos sobre líneas que salen de un vértice y usan el triángulo pequeño que comparte el ángulo de ese vértice con el grande.

Desde el punto $A$ salen dos caminos rectos que pasan junto al lago. Un triángulo pequeño cuyos lados a lo largo de ambos caminos miden $\frac{1}{4}$ de los del grande comparte el ángulo en $A$, así que el ancho del lago es $4$ veces la distancia corta medida en tierra.

Tela para una vela más grande

Los fabricantes de velas amplían o reducen diseños de velas que ya funcionan. La vela nueva es semejante a la antigua, pero la tela necesaria crece con la razón de áreas $k^2$, no con $k$.

Una vela que es $1{,}5$ veces más larga en cada lado necesita $1{,}5^2 = 2{,}25$ veces más tela.

Q: ¿En qué se diferencia la semejanza LLL de la congruencia LLL?

A: La congruencia LLL exige tres parejas de lados **iguales**. La semejanza LLL solo exige tres parejas de lados en la **misma razón**. La congruencia es el caso particular $k = 1$.

Q: ¿Por qué el ángulo de LAL tiene que ser el ángulo comprendido?

A: Los dos lados y el ángulo entre ellos fijan la forma por completo. Si el ángulo está en otro sitio (LLA), dos triángulos distintos pueden encajar con los mismos datos, así que no puedes concluir que los triángulos son semejantes.

Q: ¿Cuándo uso AA, LLL o LAL?

A: Mira qué datos tienes. Dos parejas de ángulos iguales: AA. Tres parejas de longitudes: LLL. Dos parejas de longitudes y el ángulo entre ellas: LAL. En triángulos encajados, un ángulo común suele darte gratis el ángulo para AA o LAL.

Q: ¿Importa entre qué triángulo divido?

A: Solo para el valor de $k$. El grande entre el pequeño da $k > 1$ (ampliación), el pequeño entre el grande da $k < 1$ (reducción). Las dos formas valen, siempre que dividas en el mismo sentido en todas las parejas.