Ecuaciones de rectas en geometría analítica

Aprende a escribir e interpretar ecuaciones de rectas usando la forma pendiente-ordenada, punto-pendiente y forma general.

Intermedio25 minLección
Ficha imprimible

Definición

La ecuación de una recta describe todos los puntos (x,y)(x, y) que están sobre esa recta. Hay tres formas principales:
1. Forma pendiente-ordenada:
y=mx+by = mx + b
donde mm es la pendiente y bb es la ordenada al origen.
2. Forma punto-pendiente:
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)
donde mm es la pendiente y (x1,y1)(x_1, y_1) es un punto sobre la recta.
3. Forma general:
Ax+By=CAx + By = C
donde AA, BB y CC son enteros, y AA generalmente es positivo.

Pruébalo ahora

¿Cuál es la pendiente en la ecuación y=5x−3y = 5x - 3?

Ejemplos resueltos

Escribe la ecuación de una recta con pendiente 33 y ordenada al origen −2-2.
1

Identifica la forma a usar

Tenemos pendiente y ordenada al origen, así que usamos la forma pendiente-ordenada: y=mx+by = mx + b → Usar y=mx+by = mx + b
2

Sustituye la pendiente

m=3m = 3, entonces y=3x+by = 3x + b
3

Sustituye la ordenada al origen

b=−2b = -2, entonces y=3x+(−2)y = 3x + (-2) → y=3x−2y = 3x - 2

Errores comunes

Confundir pendiente y ordenada al origen en y=mx+by = mx + b

Por qué está mal: Los estudiantes a veces piensan que el primer número es la ordenada al origen. En y=3x+5y = 3x + 5, la pendiente es 33 (coeficiente de xx) y la ordenada al origen es 55 (término constante).

Correcto: Recuerda: mm viene antes de bb en la fórmula, y mm se multiplica por xx. La ordenada al origen es el número independiente.

Cálculo incorrecto de la pendiente: x2−x1y2−y1\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}

Por qué está mal: Los estudiantes invierten la fórmula, poniendo xx arriba en lugar de yy.

Correcto: Pendiente = cambio vertical / cambio horizontal = y2−y1x2−x1\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Los valores de yy van en el numerador.

Errores de signo en la forma punto-pendiente

Por qué está mal: Cuando el punto tiene una coordenada negativa como (−3,2)(-3, 2), los estudiantes escriben y−2=m(x−−3)y - 2 = m(x - -3) incorrectamente como y−2=m(x−3)y - 2 = m(x - 3).

Correcto: Con el punto (−3,2)(-3, 2): x−(−3)=x+3x - (-3) = x + 3, entonces la ecuación es y−2=m(x+3)y - 2 = m(x + 3).

Olvidar distribuir en la forma punto-pendiente

Por qué está mal: Al expandir y−5=2(x−3)y - 5 = 2(x - 3), los estudiantes escriben y−5=2x−3y - 5 = 2x - 3 en lugar de y−5=2x−6y - 5 = 2x - 6.

Correcto: Distribuye la pendiente a AMBOS términos dentro del paréntesis: 2(x−3)=2x−62(x - 3) = 2x - 6.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-5-4-3-2-11234567-5-4-3-2-1123456780xy(-1; 4)(3; -2)(2; 5)y = -1,5x + 2,5y = -4x + 13
  • Recta que pasa por (-1; 4) y (3; -2): y = -1,5x + 2,5
  • Recta que pasa por (2; 5) y (3; 1): y = -4x + 13

Explorador de funciones lineales

y = 3x - 2
Pendiente (m)3
Interseccion con Y (b)-2
b
avance
subida
xy
-2-8
-1-5
0-2
11
24

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 3x - 2

m=3, b=-2

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuál es la pendiente en la ecuación y=5x−3y = 5x - 3?

Por qué es importante

Las ecuaciones de rectas son fundamentales en matemáticas y tienen innumerables aplicaciones en la vida real:
  • Negocios: Predecir costos, ingresos y ganancias según los niveles de producción
  • Ciencia: Describir relaciones entre variables (temperatura vs. altitud, velocidad vs. tiempo)
  • Ingeniería: Diseñar rampas, carreteras y estructuras con inclinaciones específicas
  • Economía: Modelar oferta y demanda, tendencias de inflación y tasas de crecimiento
Comprender las ecuaciones de rectas te permite hacer predicciones, analizar tendencias y resolver problemas que involucran tasas de cambio constantes.

Aplicaciones del mundo real

Planes de telefonía móvil

Los planes de teléfono a menudo tienen una tarifa mensual fija más un costo por minuto o gigabyte usado.

Ejemplo:

Un plan cuesta 20 euros al mes más 0,05 euros por mensaje de texto. La ecuación es C=0,05t+20C = 0,05t + 20, donde CC es el costo total y tt es el número de mensajes.

1Inténtalo tú mismo

Un servicio de streaming cobra 8 euros al mes más 2 euros por película alquilada.

Escribe la ecuación y encuentra el costo para alquilar 5 películas.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la ecuación del costo CC en función de las películas pp:

Conversión de temperatura

La relación entre Celsius y Fahrenheit es lineal.

Ejemplo:

La fórmula F=95C+32F = \frac{9}{5}C + 32 convierte Celsius a Fahrenheit. La pendiente 95\frac{9}{5} significa que cada grado Celsius equivale a 1,81,8 grados Fahrenheit.

2Inténtalo tú mismo

El agua hierve a 100°C100°C.

¿Cuál es el punto de ebullición en Fahrenheit?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa F=95C+32F = \frac{9}{5}C + 32 con C=100C = 100:

Tarifa de taxi

Las compañías de taxi generalmente cobran una tarifa base más un precio por kilómetro.

Ejemplo:

Si un taxi cobra 3 euros de bajada de bandera y 1,50 euros por kilómetro, la ecuación de la tarifa es T=1,5d+3T = 1,5d + 3, donde dd es la distancia en kilómetros.

3Inténtalo tú mismo

Un viaje cuesta 18 euros en total.

¿Cuál fue la distancia del viaje?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve 18=1,5d+318 = 1,5d + 3 para dd:

Puntos clave

  • 1La forma pendiente-ordenada y=mx+by = mx + b muestra directamente la pendiente mm y la ordenada al origen bb
  • 2La forma punto-pendiente y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) es útil cuando conoces un punto y la pendiente
  • 3La forma general Ax+By=CAx + By = C usa coeficientes enteros con AA generalmente positivo
  • 4Para encontrar una ecuación a partir de dos puntos: primero calcula la pendiente, luego usa la forma punto-pendiente
  • 5Las tres formas describen la misma recta - elige la más conveniente para tu situación

Preguntas frecuentes

Usa la forma pendiente-ordenada cuando necesites graficar rápidamente o identificar la pendiente/ordenada al origen. Usa la forma punto-pendiente cuando te den un punto y la pendiente. Usa la forma general cuando trabajes con sistemas de ecuaciones o cuando se requieran coeficientes enteros.
Usa la forma pendiente-ordenada cuando necesites graficar rápidamente o identificar la pendiente/ordenada al origen. Usa la forma punto-pendiente cuando te den un punto y la pendiente. Usa la forma general cuando trabajes con sistemas de ecuaciones o cuando se requieran coeficientes enteros.
Convierte ambas ecuaciones a la misma forma (generalmente pendiente-ordenada). Si tienen la misma pendiente y ordenada al origen, representan la misma recta.
Si la pendiente es cero, la recta es horizontal: y=by = b. Si la pendiente es indefinida (recta vertical), la ecuación es x=ax = a, que no puede escribirse en forma pendiente-ordenada.

Glosario

Forma pendiente-ordenada
La ecuación y=mx+by = mx + b donde mm es la pendiente y bb es la ordenada al origen
Forma punto-pendiente
La ecuación y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) usando un punto (x1,y1)(x_1, y_1) y la pendiente mm
Forma general
La ecuación Ax+By=CAx + By = C donde AA, BB, CC son enteros
Ordenada al origen
El punto donde la recta cruza el eje y, escrito como (0,b)(0, b)
Pendiente
La razón cambio verticalcambio horizontal=y2−y1x2−x1\frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} que mide la inclinación
Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

La fórmula de la distancia

Intermedio25 min

Demostraciones en geometría analítica

Avanzado30 min