Ejes de simetría de un rectángulo

Un rectángulo mide $6$ cm por $4$ cm. ¿Cuántos ejes de simetría tiene?

Dóblalo de arriba abajo: El doblez pasa por los puntos medios de los dos lados cortos. Las dos mitades miden $6$ cm por $2$ cm y coinciden. = 1 eje de simetría

Dóblalo de izquierda a derecha: El doblez pasa por los puntos medios de los dos lados largos. Las dos mitades miden $3$ cm por $4$ cm y coinciden. = 2.º eje de simetría

Prueba con una diagonal: Al doblar por una diagonal, un triángulo se da la vuelta, pero los vértices no caen uno sobre otro porque $6 \neq 4$. = Una diagonal NO es un eje de simetría

Answer: El rectángulo tiene $2$ ejes de simetría, ambos por los puntos medios de lados opuestos. Las diagonales no son ejes de simetría.

Simetría de rotación de un pentágono regular

Halla el orden de simetría de rotación y el menor ángulo de giro de un pentágono regular.

Cuenta las posiciones: Cada vértice puede pasar al lugar del siguiente y el pentágono se ve igual. Hay $5$ vértices. = Orden $5$

Usa la fórmula: $\text{menor ángulo} = \frac{360°}{5}$ = $72°$

Comprueba con la vuelta completa: $5 \times 72° = 360°$ = Cinco giros de $72°$ forman una vuelta completa

Answer: Un pentágono regular tiene simetría de rotación de orden $5$ con un menor ángulo de giro de $72°$.

Toda la simetría de un octágono regular

Una señal de stop es un octágono regular. Describe todos sus ejes de simetría y su simetría de rotación.

Cuenta los ejes por vértices opuestos: $8$ vértices forman $\frac{8}{2} = 4$ pares de vértices opuestos. = $4$ ejes

Cuenta los ejes por puntos medios de lados opuestos: $8$ lados forman $\frac{8}{2} = 4$ pares de lados opuestos. = $4$ ejes

Súmalos: $4 + 4 = 8$, igual al número de lados = $8$ ejes de simetría

Halla el orden y el menor ángulo: Orden $8$, menor ángulo $\frac{360°}{8} = 45°$ = $45°$

Comprueba la simetría central: $180° = 4 \times 45°$, así que media vuelta también encaja = Simetría central: sí

Answer: Un octágono regular tiene $8$ ejes de simetría, simetría de rotación de orden $8$ (menor ángulo $45°$) y simetría central.

Un paralelogramo: girar sin doblar

¿Tiene simetría axial un paralelogramo (que no sea rectángulo ni rombo)? ¿Tiene simetría de rotación?

Intenta doblar por los puntos medios de dos lados opuestos: Los lados oblicuos se inclinan hacia el mismo lado, así que tras el doblez se cruzan en lugar de coincidir. = No es un eje de simetría

Intenta doblar por una diagonal: Los dos triángulos son congruentes, pero el doblez le da la vuelta a uno, así que los vértices no caen uno sobre otro. = No es un eje de simetría

Gíralo $180°$ alrededor del punto donde se cortan las diagonales: Las diagonales se cortan en su punto medio, así que cada vértice cae sobre el vértice opuesto. = Coincide tras media vuelta

Indica el orden y la simetría central: Coincide tras $180°$ y $360°$: $\frac{360°}{180°} = 2$ = Orden $2$, simetría central

Answer: Un paralelogramo tiene $0$ ejes de simetría pero simetría de rotación de orden $2$, así que tiene simetría central.

Hacia atrás desde el ángulo

Un polígono regular coincide consigo mismo tras un giro de $40°$, y $40°$ es el menor ángulo que lo consigue. ¿Cuántos lados y cuántos ejes de simetría tiene?

Halla el orden: $\text{orden} = \frac{360°}{40°} = 9$ = Orden $9$

Halla el número de lados: En un polígono regular el orden es igual al número de lados = $9$ lados (un eneágono)

Halla los ejes de simetría: Un polígono regular tiene tantos ejes como lados = $9$ ejes

Describe los ejes: $9$ es impar, así que cada eje pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto = Ningún eje une dos vértices

Answer: Es un eneágono regular: $9$ lados, $9$ ejes de simetría (cada uno por un vértice y el punto medio del lado opuesto), orden $9$.

Mistake: Contar las diagonales de un rectángulo como ejes de simetría

Why: Una diagonal divide el rectángulo en dos triángulos congruentes, pero no basta con eso: las mitades deben ser imágenes de espejo respecto a la recta.

Correct: Haz la prueba del doblado. Al doblar por una diagonal, los vértices de un rectángulo no coinciden, así que solo tiene $2$ ejes de simetría.

Mistake: Escribir el ángulo en lugar del orden (decir que un cuadrado tiene orden $90$)

Why: El orden y el menor ángulo son dos números distintos que van juntos.

Correct: El orden cuenta las coincidencias en una vuelta completa ($4$ en el cuadrado); el ángulo es $\frac{360°}{\text{orden}} = 90°$.

Mistake: Pensar que toda figura con simetría de rotación también tiene simetría axial

Why: Muchas figuras simétricas conocidas tienen las dos, así que se supone que siempre van juntas.

Correct: Un paralelogramo tiene orden $2$ pero $0$ ejes de simetría. Comprueba siempre dobleces y giros por separado.

Mistake: Contar dos veces cada eje de simetría de un polígono con un número par de lados

Why: Un eje que pasa por dos vértices opuestos toca dos vértices, y se cuenta en cada extremo.

Correct: Cuenta parejas: un hexágono regular tiene $3$ ejes por vértices opuestos y $3$ por puntos medios opuestos, $6$ en total.

Señales de tráfico

Una señal de stop es un octágono regular. Su simetría hace que se reconozca fácilmente, incluso vista de lado o un poco girada.

Una señal de ceda el paso es un triángulo equilátero: $3$ ejes de simetría y orden $3$, así que coincide consigo misma tras $\frac{360°}{3} = 120°$.

Tapacubos y ruedas

Los diseñadores de ruedas reparten radios iguales de forma regular. Así la rueda tiene simetría de rotación y se mantiene equilibrada al girar.

Una rueda con $4$ radios iguales tiene orden $4$: se ve igual cada $\frac{360°}{4} = 90°$.

Copos de nieve

Los cristales de hielo crecen en seis direcciones, por eso un copo de nieve tiene $6$ ejes de simetría y simetría de rotación de orden $6$, igual que un hexágono regular.

Un copo de nieve coincide consigo mismo tras $\frac{360°}{6} = 60°$, y como $6$ es par también tiene simetría central.

Q: ¿Por qué decimos orden 1 y no orden 0?

A: Toda figura coincide consigo misma tras una vuelta completa de $360°$, así que el número de coincidencias es al menos $1$. Orden $1$ significa que solo encaja esa vuelta completa, es decir, la figura no tiene simetría de rotación.

Q: ¿La simetría central es lo mismo que la simetría de rotación?

A: La simetría central es un caso especial de simetría de rotación: encaja media vuelta ($180°$). La tienen las figuras de orden $2$, $4$ o $6$. Un triángulo equilátero (orden $3$) tiene simetría de rotación pero no simetría central.

Q: ¿El número de ejes es siempre igual al orden?

A: En un polígono con al menos un eje de simetría, sí: el cuadrado tiene $4$ y $4$, el deltoide $1$ y $1$. Un polígono sin ejes puede tener simetría de rotación de todos modos, como el paralelogramo de orden $2$.

Q: ¿Cuántos ejes de simetría tiene un círculo?

A: Infinitos: toda recta que pasa por el centro es un eje de simetría, y un círculo coincide consigo mismo tras un giro de cualquier ángulo. Un círculo no es un polígono, por eso no aparece en la tabla.