Simetría en los polígonos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué figura tiene exactamente $2$ ejes de simetría y simetría de rotación de orden $2$ ?
1. a)Deltoide
2. b)Hexágono regular
3. c)Rectángulo
4. d)Cuadrado
Respuesta: Rectángulo
Un rectángulo tiene $2$ ejes de simetría (por los puntos medios de lados opuestos) y orden $2$ . Un cuadrado tiene $4$ y $4$ , un deltoide $1$ y $1$ , un hexágono regular $6$ y $6$ .
2.
¿Qué figura tiene simetría central?
1. a)Triángulo equilátero
2. b)Trapecio isósceles
3. c)Deltoide
4. d)Paralelogramo
Respuesta: Paralelogramo
Un paralelogramo coincide consigo mismo tras media vuelta alrededor del punto donde se cortan las diagonales: orden $2$ , así que tiene simetría central. El triángulo equilátero tiene orden $3$ (impar), el deltoide y el trapecio isósceles orden $1$ .
3.
¿Por dónde pasan los ejes de simetría de un pentágono regular?
1. a)Un pentágono regular no tiene ejes de simetría
2. b)Cada uno por los puntos medios de dos lados opuestos
3. c)Cada uno por dos vértices opuestos
4. d)Cada uno por un vértice y el punto medio del lado opuesto
Respuesta: Cada uno por un vértice y el punto medio del lado opuesto
Un pentágono regular tiene $5$ ejes de simetría. Como $5$ es impar, cada uno pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. No hay pares de vértices opuestos ni pares de lados opuestos.
4.
¿Qué figura tiene simetría de rotación pero ningún eje de simetría?
1. a)Deltoide
2. b)Rectángulo
3. c)Paralelogramo (ni rectángulo ni rombo)
4. d)Triángulo isósceles
Respuesta: Paralelogramo (ni rectángulo ni rombo)
Un paralelogramo (que no sea rectángulo ni rombo) tiene orden $2$ pero $0$ ejes de simetría. El deltoide y el triángulo isósceles tienen $1$ eje y orden $1$ , el rectángulo tiene $2$ ejes y orden $2$ .
5.
¿Qué afirmación es siempre verdadera?
1. a)Todo polígono con simetría central tiene al menos un eje de simetría
2. b)Una figura con simetría de rotación de orden $3$ tiene simetría central
3. c)Un polígono regular de $n$ lados tiene simetría de rotación de orden $n$
4. d)Un deltoide tiene simetría de rotación de orden $2$
Respuesta: Un polígono regular de $n$ lados tiene simetría de rotación de orden $n$
Un polígono regular de $n$ lados coincide consigo mismo tras cada giro de $\frac{360°}{n}$ , así que su orden es $n$ . Las demás son falsas: un paralelogramo tiene simetría central pero ningún eje; el orden $3$ es impar, media vuelta no encaja; un deltoide tiene orden $1$ .
6.
¿Cuántos ejes de simetría tiene un hexágono regular?
Respuesta: 6
Un hexágono regular tiene $6$ ejes de simetría: $3$ por vértices opuestos y $3$ por los puntos medios de lados opuestos.
7.
¿Cuál es el menor ángulo de giro de un triángulo equilátero, en grados?
Respuesta: 120
Un triángulo equilátero tiene orden $3$ , así que el menor ángulo es $\frac{360°}{3} = 120°$ .
8.
¿Cuál es el orden de simetría de rotación de un rombo que no es un cuadrado?
Respuesta: 2
Tras $90°$ la diagonal larga quedaría sobre la corta, así que no encaja. Tras $180°$ encaja, y tras $360°$ otra vez: orden $2$ .
9.
Un polígono regular coincide consigo mismo tras un giro de $30°$ , y ningún giro menor funciona. ¿Cuántos ejes de simetría tiene?
Respuesta: 12
El orden es $\frac{360°}{30°} = 12$ , así que es un dodecágono regular con $12$ lados y $12$ ejes de simetría.
10.
Un decágono regular tiene $10$ ejes de simetría. ¿Cuántos de ellos pasan por dos vértices opuestos?
Respuesta: 5
$10$ vértices forman $\frac{10}{2} = 5$ pares de vértices opuestos, así que $5$ ejes pasan por dos vértices. Los otros $5$ pasan por los puntos medios de lados opuestos.
11.
Describe la simetría de un triángulo isósceles que no es equilátero.
Respuesta: 1
1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene? 1
2. ¿Cuál es su orden de simetría de rotación? 1
12.
Halla la simetría de un pentágono regular.
Respuesta: 72°
1. ¿Cuántos ejes de simetría? 5
2. ¿Cuál es el orden de simetría de rotación? 5
3. ¿Cuál es el menor ángulo de giro en grados? 72
13.
Un rectángulo mide $8$ cm por $5$ cm. Halla su simetría.
Respuesta: 180°
1. ¿Cuántos ejes de simetría? 2
2. ¿Cuál es el orden de simetría de rotación? 2
3. ¿Cuál es el menor ángulo de giro en grados? 180
14.
Describe los ejes de simetría y la simetría de rotación de un dodecágono regular ( $12$ lados).
Respuesta: 30°
1. ¿Cuántos ejes pasan por dos vértices opuestos? 6
2. ¿Cuántos ejes pasan por los puntos medios de dos lados opuestos? 6
3. ¿Cuántos ejes de simetría en total? 12
4. ¿Cuál es el menor ángulo de giro en grados? 30
15.
Estudia la simetría de un deltoide (que no es un rombo).
Respuesta: 0
1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene el deltoide? 1
2. ¿Cuál es su orden de simetría de rotación? 1
3. ¿Tiene simetría central? Escribe $1$ para sí y $0$ para no. 0
16.
Un hexágono regular se gira $240°$ alrededor de su centro. ¿A cuántos giros mínimos equivale?
Respuesta: 4
1. ¿Cuál es el orden de simetría de rotación de un hexágono regular? 6
2. ¿Cuál es el menor ángulo de giro en grados? 60
3. ¿Cuántos giros mínimos forman $240°$ ? 4
17.
Cada ángulo interior de un polígono regular mide $140°$ . Halla su número de ejes de simetría y su menor ángulo de giro.
Respuesta: 40°
1. ¿Cuánto mide cada ángulo exterior en grados? 40
2. ¿Cuántos lados tiene el polígono? 9
3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene? 9
4. ¿Cuál es el menor ángulo de giro en grados? 40
18.
Todos los ejes de simetría de un pentágono regular pasan por su centro. ¿Qué ángulo forman dos ejes vecinos?
Respuesta: 36°
1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un pentágono regular? 5
2. Cada eje da dos semirrectas desde el centro. ¿Cuántas semirrectas hay? 10
3. ¿Qué ángulo forman dos semirrectas vecinas, en grados? 36