Graficar usando intersecciones

Aprende a graficar ecuaciones lineales rápidamente encontrando y trazando la intersección con el eje x y la intersección con el eje y.

Intermedio25 minLección
Ficha imprimible

Definición

El método de intersecciones es una forma rápida de graficar una ecuación lineal encontrando los dos puntos donde la recta cruza los ejes.
Intersección con el eje x: El punto donde la recta cruza el eje x. En este punto, y=0y = 0.
Intersección con el eje y: El punto donde la recta cruza el eje y. En este punto, x=0x = 0.
Para graficar usando intersecciones:
  1. 1.Encuentra la intersección x: Pon y=0y = 0 y resuelve para xx
  2. 2.Encuentra la intersección y: Pon x=0x = 0 y resuelve para yy
  3. 3.Marca ambos puntos y traza una recta que pase por ellos
interseccioˊn x: (a,0)interseccioˊn y: (0,b)\text{intersección x: } (a, 0) \quad \text{intersección y: } (0, b)

Pruébalo ahora

¿Qué es la intersección x de una recta?

Ejemplos resueltos

Grafica la ecuación 2x+y=42x + y = 4 usando intersecciones.
1

Encuentra la intersección x (pon y = 0)

2x+0=42x + 0 = 4 2x=42x = 4 x=2x = 2 → intersección x: (2,0)(2, 0)
2

Encuentra la intersección y (pon x = 0)

2(0)+y=42(0) + y = 4 0+y=40 + y = 4 y=4y = 4 → intersección y: (0,4)(0, 4)
3

Marca ambas intersecciones

Marca (2,0)(2, 0) en el eje x y (0,4)(0, 4) en el eje y → Dos puntos marcados
4

Traza la recta

Conecta los dos puntos con una línea recta → Recta graficada

Errores comunes

Confundir qué variable poner en cero

Por qué está mal: Los estudiantes confunden: para la intersección x pon y = 0 (no x = 0), y para la intersección y pon x = 0 (no y = 0).

Correcto: Recuerda: La intersección x está EN el eje x, donde y = 0. La intersección y está EN el eje y, donde x = 0.

Escribir las intersecciones como números solos en lugar de puntos

Por qué está mal: Escribir 'intersección x = 3' en lugar de 'intersección x = (3, 0)' pierde información importante.

Correcto: Siempre escribe las intersecciones como pares ordenados: intersección x (a,0)(a, 0) e intersección y (0,b)(0, b).

Errores de signo al resolver intersecciones negativas

Por qué está mal: Al dividir por un número negativo, los estudiantes olvidan cambiar el signo.

Correcto: Ten cuidado con los negativos: −2y=6-2y = 6 da y=−3y = -3, no y=3y = 3.

Pensar que toda recta tiene dos intersecciones diferentes

Por qué está mal: Algunas rectas pasan por el origen, así que ambas intersecciones son (0,0)(0, 0).

Correcto: Si la ecuación no tiene término constante (como y=2xy = 2x), ambas intersecciones están en el origen. Necesitarás otro método para graficar.

Visual interactivo

Gráfica de la función

Representa estos puntos:

  • (2; 0)
  • (0; 4)
-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-11234560xy

Toca la cuadrícula para colocar un punto. Tócalo otra vez para quitarlo.Coloca al menos 2 puntos para ver la recta que pasa por ellos.

Gráfica de la función

-202468-4-20246xy(2; 0)(6; 0)(4; 0)(0; 4)(0; -3)(0; 3)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

2x + y = 4x − 2y = 63x + 4y = 12
  • Cero (corte con el eje x): (2; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (6; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (4; 0)

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

-2x + 4

m=-2, b=4

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Qué es la intersección x de una recta?

Por qué es importante

El método de intersecciones es una de las formas más rápidas de graficar una recta porque:
  • Dos puntos definen una recta: Solo necesitas dos puntos para trazar una recta, y las intersecciones son fáciles de encontrar
  • No se necesita calcular la pendiente: A diferencia de la forma pendiente-ordenada, no necesitas calcular el cambio vertical sobre el cambio horizontal
  • Funciona con la forma estándar: Ecuaciones como 2x+3y=62x + 3y = 6 son más fáciles de graficar usando intersecciones que convirtiéndolas a la forma pendiente-ordenada
  • Aplicaciones en la vida real: Las intersecciones a menudo tienen interpretaciones significativas, como puntos de equilibrio en negocios o valores iniciales en experimentos científicos

Aplicaciones del mundo real

Análisis del punto de equilibrio en negocios

Las empresas usan intersecciones para encontrar cuándo los ingresos igualan los costos (punto de equilibrio).

Ejemplo:

La ecuación de ganancia de una empresa es G=50x−2000G = 50x - 2000, donde xx son las unidades vendidas. La intersección x (cuando G=0G = 0) muestra que necesitan vender 40 unidades para alcanzar el equilibrio.

1Inténtalo tú mismo

Un puesto de comida tiene la ecuación de ganancia G=8x−200G = 8x - 200, donde xx es el número de comidas vendidas.

¿Cuántas comidas deben vender para alcanzar el punto de equilibrio (ganancia = 0)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Pon G=0G = 0 y resuelve: 0=8x−2000 = 8x - 200

Distancia y tiempo

La intersección y en gráficos de distancia-tiempo muestra la posición inicial.

Ejemplo:

Si la posición de un auto está dada por d=60t+20d = 60t + 20, la intersección y (0,20)(0, 20) significa que el auto comenzó a 20 km del origen.

2Inténtalo tú mismo

La distancia de un ciclista desde su casa está modelada por d=15t+5d = 15t + 5, donde dd está en kilómetros y tt en horas.

¿Cuál es la intersección y y qué representa?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Encuentra dd cuando t=0t = 0:

Puntos clave

  • 1La intersección x es donde la recta cruza el eje x: pon y=0y = 0 y resuelve para xx. Escríbelo como (a,0)(a, 0).
  • 2La intersección y es donde la recta cruza el eje y: pon x=0x = 0 y resuelve para yy. Escríbelo como (0,b)(0, b).
  • 3Para graficar usando intersecciones: encuentra ambas intersecciones, márcalas y traza una recta que pase por ellas.
  • 4Este método funciona mejor cuando la ecuación está en forma estándar (Ax+By=CAx + By = C).
  • 5Si ambas intersecciones están en el origen, usa un método de graficación diferente (como la forma pendiente-ordenada).

Preguntas frecuentes

Si ambas intersecciones son (0,0)(0, 0), la recta pasa por el origen. Necesitarás encontrar otro punto sustituyendo un valor para xx (como x=1x = 1) y resolviendo para yy.
Si ambas intersecciones son (0,0)(0, 0), la recta pasa por el origen. Necesitarás encontrar otro punto sustituyendo un valor para xx (como x=1x = 1) y resolviendo para yy.
Usa intersecciones cuando la ecuación está en forma estándar (Ax+By=CAx + By = C) y ambos coeficientes dividen a CC de manera exacta. Es más rápido que convertir a y=mx+by = mx + b.
Parcialmente. Una recta horizontal como y=3y = 3 solo tiene una intersección y (0,3)(0, 3) y ninguna intersección x. Una recta vertical como x=2x = 2 solo tiene una intersección x (2,0)(2, 0) y ninguna intersección y.

Glosario

Intersección x
El punto donde una recta cruza el eje x, siempre en la forma (a,0)(a, 0)
Intersección y
El punto donde una recta cruza el eje y, siempre en la forma (0,b)(0, b)
Forma estándar
Una ecuación lineal escrita como Ax+By=CAx + By = C, donde A, B y C son constantes
Método de intersecciones
Una técnica de graficación que usa la intersección x y la intersección y para trazar una recta
Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

Graficar ecuaciones lineales (método de la tabla)

Intermedio25 min

Graficar usando la forma pendiente-intersección

Intermedio25 min