Graficar una parabola basica

Grafica $f(x) = x^2 - 4x + 3$ e identifica todas las caracteristicas clave.

Identificar los coeficientes: $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$ = La parabola abre hacia arriba (ya que $a > 0$)

Encontrar el eje de simetria: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$ = Eje de simetria: $x = 2$

Encontrar el vertice: $f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$ = Vertice: $(2, -1)$

Encontrar la interseccion con el eje y: $f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3$ = Interseccion con eje y: $(0, 3)$

Encontrar las raices: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0$ = Raices: $(1, 0)$ y $(3, 0)$

Trazar los puntos y dibujar la parabola: Trazar el vertice $(2, -1)$, interseccion con eje y $(0, 3)$, raices $(1, 0)$ y $(3, 0)$ = Curva en forma de U abriendo hacia arriba

Answer: La parabola tiene vertice $(2, -1)$, eje de simetria $x = 2$, abre hacia arriba, cruza el eje x en $x = 1$ y $x = 3$, y cruza el eje y en $y = 3$.

Parabola que abre hacia abajo

Grafica $f(x) = -x^2 + 2x + 8$ y encuentra el valor maximo.

Identificar los coeficientes: $a = -1$, $b = 2$, $c = 8$ = La parabola abre hacia abajo (ya que $a < 0$)

Encontrar el eje de simetria: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$ = Eje de simetria: $x = 1$

Encontrar el vertice (punto maximo): $f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$ = Vertice: $(1, 9)$ - este es el maximo

Encontrar la interseccion con el eje y: $f(0) = -(0)^2 + 2(0) + 8 = 8$ = Interseccion con eje y: $(0, 8)$

Encontrar las raices: $-x^2 + 2x + 8 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0$ = Raices: $(4, 0)$ y $(-2, 0)$

Answer: La parabola abre hacia abajo con vertice $(1, 9)$, que es el valor maximo de la funcion. Cruza el eje x en $x = -2$ y $x = 4$.

Usar el discriminante

Sin graficar, determina cuantas raices tiene $f(x) = x^2 - 6x + 9$.

Identificar los coeficientes: $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$ = Listo para calcular el discriminante

Calcular el discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$ = $\Delta = 0$

Interpretar el discriminante: $\Delta = 0$ significa exactamente una raiz (el vertice toca el eje x) = Una raiz (raiz doble)

Encontrar la raiz: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ = La parabola toca el eje x en $(3, 0)$

Answer: La funcion tiene exactamente una raiz en $x = 3$. La parabola toca el eje x en su vertice - esto se llama una "raiz doble".

Mistake: Olvidar el signo negativo al calcular el eje de simetria

Why: La formula $x = -\frac{b}{2a}$ tiene un signo negativo que es facil de olvidar, especialmente cuando $b$ ya es negativo.

Correct: Siempre escribe la formula con el signo negativo primero: $x = -\frac{b}{2a}$. Si $b = -4$ y $a = 1$, entonces $x = -\frac{-4}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Mistake: Confundir el vertice con la interseccion con el eje y

Why: La interseccion con el eje y $(0, c)$ es a menudo mas facil de encontrar, pero no es el vertice a menos que el eje de simetria sea $x = 0$.

Correct: El vertice esta en $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. Calcula primero la coordenada x, luego sustituye para encontrar la coordenada y.

Mistake: Pensar que todas las parabolas abren hacia arriba

Why: Muchos estudiantes olvidan que el signo de $a$ determina la direccion.

Correct: Siempre verifica el signo de $a$ primero: $a > 0$ abre hacia arriba (minimo), $a < 0$ abre hacia abajo (maximo).

Mistake: Asumir que toda parabola cruza el eje x

Why: No todas las funciones cuadraticas tienen raices reales. El discriminante determina esto.

Correct: Verifica $\Delta = b^2 - 4ac$: si $\Delta > 0$, dos raices; si $\Delta = 0$, una; si $\Delta < 0$, ninguna.

Movimiento de proyectiles

Cuando lanzas una pelota, su altura a lo largo del tiempo sigue una trayectoria parabolica debido a la gravedad.

Una pelota lanzada hacia arriba tiene altura $h(t) = -5t^2 + 20t + 1,5$ metros despues de $t$ segundos. El vertice da la altura maxima, y la raiz positiva da cuando aterriza.

Ingresos de negocios

Las empresas usan funciones cuadraticas para modelar como los cambios de precio afectan los ingresos.

Si los ingresos de una empresa son $R(p) = -2p^2 + 100p$ donde $p$ es el precio en dolares, el vertice muestra el precio que maximiza los ingresos.

Q: ¿Cual es la diferencia entre una funcion cuadratica y una ecuacion cuadratica?

A: Una funcion cuadratica es $f(x) = ax^2 + bx + c$ y produce salidas para cualquier entrada. Una ecuacion cuadratica es $ax^2 + bx + c = 0$ y la resolvemos para encontrar valores de x especificos (las raices).

Q: ¿Por que se llama parabola?

A: La palabra viene del griego 'parabole' que significa 'comparacion' o 'colocar al lado'. Fue nombrada por el matematico griego Apolonio alrededor del 200 a.C. cuando estudiaba las secciones conicas.

Q: ¿Puede una parabola no tener raices?

A: ¡Si! Cuando el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ es negativo, la parabola nunca cruza el eje x. Por ejemplo, $f(x) = x^2 + 1$ tiene su punto mas bajo en $(0, 1)$, que esta por encima del eje x.