Álgebra de Boole

El **álgebra de Boole** es un conjunto de **leyes** para reescribir expresiones booleanas. Cada ley dice que dos expresiones son **equivalentes**: tienen el mismo valor de verdad para cualquier entrada, así que siempre puedes sustituir una por la otra. Con las leyes puedes **simplificar** una expresión sin construir cada vez una tabla de verdad nueva. Escribimos 1 para verdadero y 0 para falso (las tablas de verdad interactivas también usan 1 y 0). En ingeniería se escribe a menudo $A \cdot B$ para $A \land B$, $A + B$ para $A \lor B$ y $\overline{A}$ para $\neg A$: significan exactamente lo mismo. En esta lección usamos $\land$, $\lor$ y $\neg$. **Las leyes** ($A$, $B$ y $C$ son variables booleanas): | Ley | Forma Y | Forma O | |:---|:---:|:---:| | Identidad | $A \land 1 = A$ | $A \lor 0 = A$ | | Dominación (elemento nulo) | $A \land 0 = 0$ | $A \lor 1 = 1$ | | Idempotencia | $A \land A = A$ | $A \lor A = A$ | | Complemento | $A \land \neg A = 0$ | $A \lor \neg A = 1$ | | Doble negación | $\neg\neg A = A$ | (una sola forma) | | Ley conmutativa | $A \land B = B \land A$ | $A \lor B = B \lor A$ | | Ley asociativa | $(A \land B) \land C = A \land (B \land C)$ | $(A \lor B) \lor C = A \lor (B \lor C)$ | | Ley distributiva | $A \land (B \lor C) = (A \land B) \lor (A \land C)$ | $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ | | Ley de absorción | $A \land (A \lor B) = A$ | $A \lor (A \land B) = A$ | | De Morgan | $\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$ | $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$ | Fíjate en el patrón: si en una columna cambias $\land$ por $\lor$ y 0 por 1, obtienes la otra columna. Esto se llama **dualidad**. **Simplificar paso a paso:** usa una sola ley en cada paso y di cuál es. Después comprueba el resultado con una tabla de verdad: si las columnas finales coinciden en todas las filas, la simplificación es correcta.

Leyes de identidad y de dominación

Simplifica $(A \land 1) \lor (B \land 0)$.

Aplica la ley de identidad al primer paréntesis: $A \land 1 = A$, porque Y con verdadero no cambia nada = $A \lor (B \land 0)$

Aplica la ley de dominación al segundo paréntesis: $B \land 0 = 0$, porque Y con falso siempre es falso = $A \lor 0$

Aplica otra vez la ley de identidad: $A \lor 0 = A$, porque O con falso no cambia nada = $A$

Answer: $(A \land 1) \lor (B \land 0) = A$. El valor de $B$ no importa en absoluto.

Demostrar la ley de absorción

Demuestra con otras leyes que $A \lor (A \land B) = A$.

Escribe $A$ como $A \land 1$ (ley de identidad): $A \lor (A \land B) = (A \land 1) \lor (A \land B)$ = Los dos paréntesis empiezan por $A$

Saca $A$ como factor común (ley distributiva, leída de derecha a izquierda): $(A \land 1) \lor (A \land B) = A \land (1 \lor B)$ = $A \land (1 \lor B)$

Aplica las leyes conmutativa y de dominación: $1 \lor B = B \lor 1 = 1$ = $A \land 1$

Aplica la ley de identidad: $A \land 1 = A$ = $A$

Answer: $A \lor (A \land B) = A$. Con palabras: si $A$ es verdadera, toda la O es verdadera, y si $A$ es falsa, $A \land B$ también es falsa. En los dos casos el resultado es igual a $A$.

De Morgan y doble negación

Simplifica $\neg(\neg A \land B)$ y comprueba el resultado con una tabla de verdad.

Aplica la ley de De Morgan: La NO de una Y se convierte en una O de las negaciones: $\neg(\neg A \land B) = \neg\neg A \lor \neg B$ = $\neg\neg A \lor \neg B$

Aplica la doble negación: $\neg\neg A = A$ = $A \lor \neg B$

Construye la columna de la expresión original: Filas $(A, B)$ = 00, 01, 10, 11: $\neg A \land B$ vale 0, 1, 0, 0, así que $\neg(\neg A \land B)$ vale 1, 0, 1, 1 = 1, 0, 1, 1

Construye la columna del resultado: $\neg B$ vale 1, 0, 1, 0, así que $A \lor \neg B$ vale 1, 0, 1, 1 = La misma columna en todas las filas

Answer: $\neg(\neg A \land B) = A \lor \neg B$. Las dos columnas coinciden en las 4 filas, así que la simplificación es correcta.

Factor común y ley del complemento

Simplifica $(A \land B) \lor (A \land \neg B)$ y compruébalo con una tabla de verdad.

Saca $A$ como factor común (ley distributiva): $(A \land B) \lor (A \land \neg B) = A \land (B \lor \neg B)$ = $A \land (B \lor \neg B)$

Aplica la ley del complemento: $B \lor \neg B = 1$, porque $B$ es verdadera o falsa = $A \land 1$

Aplica la ley de identidad: $A \land 1 = A$ = $A$

Comprueba con una tabla de verdad: Filas $(A, B)$ = 00, 01, 10, 11: $A \land B$ vale 0, 0, 0, 1 y $A \land \neg B$ vale 0, 0, 1, 0, así que la O vale 0, 0, 1, 1 = Igual que la columna $A$: 0, 0, 1, 1

Answer: $(A \land B) \lor (A \land \neg B) = A$. Un circuito con 4 puertas (dos Y, una NO, una O) se convierte en un simple cable.

Menos puertas en un circuito

Un circuito calcula $\neg(A \lor B) \lor (\neg A \land B)$. Simplifícalo y cuenta las puertas que se ahorran (una puerta por cada $\land$, $\lor$ y $\neg$).

Cuenta las puertas de la expresión original: Operadores: $\neg$ y $\lor$ en la primera parte, $\neg$ y $\land$ en la segunda, y la $\lor$ del medio = 5 puertas

Aplica la ley de De Morgan a la primera parte: $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$ = $(\neg A \land \neg B) \lor (\neg A \land B)$

Saca $\neg A$ como factor común (ley distributiva): $(\neg A \land \neg B) \lor (\neg A \land B) = \neg A \land (\neg B \lor B)$ = $\neg A \land (\neg B \lor B)$

Aplica las leyes del complemento y de identidad: $\neg B \lor B = 1$ y $\neg A \land 1 = \neg A$ = $\neg A$

Vuelve a contar las puertas: $\neg A$ necesita una sola puerta NO: $5 - 1 = 4$ = 4 puertas ahorradas

Answer: El circuito es equivalente a $\neg A$: una puerta NO en lugar de 5 puertas. Comprobación: la expresión original es verdadera exactamente en las filas 00 y 01, que son las filas con $A = 0$.

Cada $\land$, $\lor$ y $\neg$ de una expresión se convierte en una **puerta lógica** de un circuito. Una expresión más corta significa menos puertas, y menos puertas significan un chip más barato, más pequeño, más rápido y que gasta menos energía. - **Electrónica**: un procesador tiene miles de millones de puertas, así que ahorrar una puerta en un circuito que se copia un millón de veces ahorra un millón de puertas - **Programación**: una condición como NO (fin de semana O festivo) se puede reescribir como (NO fin de semana) Y (NO festivo), que suele ser más fácil de leer y de probar - **Búsquedas y bases de datos**: un filtro como matemáticas O (matemáticas Y lógica) da exactamente los mismos resultados que solo matemáticas - **Demostraciones**: las leyes permiten demostrar que dos circuitos o dos condiciones hacen lo mismo sin probar todas las entradas En la lección Tablas de verdad comprobaste equivalencias fila por fila, y en la lección Puertas lógicas construiste circuitos. El álgebra de Boole une las dos cosas: convierte un circuito grande en uno pequeño, y una tabla de verdad confirma que no ha cambiado nada.

Mistake: Escribir $\neg(A \land B) = \neg A \land \neg B$

Why: La ley de De Morgan cambia el operador además de negar las variables. Prueba con $A = 1$, $B = 0$: el lado izquierdo es $\neg 0 = 1$ y el derecho es $0 \land 1 = 0$.

Correct: Rompe la barra y cambia el signo: $\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$ y $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$.

Mistake: Usar reglas del álgebra ordinaria, como $A \lor A = 2A$ o $A \land A = A^2$

Why: Las variables booleanas solo valen 0 o 1, y $1 \lor 1$ es 1, no 2. Repetir una variable no añade nada nuevo.

Correct: Usa la idempotencia: $A \lor A = A$ y $A \land A = A$.

Mistake: Leer $A \lor B \land C$ como $(A \lor B) \land C$

Why: Y se evalúa antes que O, igual que la multiplicación antes que la suma. Con $A = 1$, $B = 0$, $C = 0$ el valor correcto es $1 \lor 0 = 1$, pero la lectura equivocada da $1 \land 0 = 0$.

Correct: Pon los paréntesis antes de aplicar una ley: $A \lor B \land C = A \lor (B \land C)$.

Mistake: Aplicar la ley del complemento a dos variables distintas, como $A \land \neg B = 0$

Why: La ley del complemento solo funciona con una variable y su propia negación. Con $A = 1$, $B = 0$: $A \land \neg B = 1 \land 1 = 1$, no 0.

Correct: Busca la misma letra: $A \land \neg A = 0$ y $B \lor \neg B = 1$, pero $A \land \neg B$ no se puede simplificar.

Diseñar chips más baratos

Quienes diseñan chips simplifican cada circuito con el álgebra de Boole antes de fabricarlo, porque cada puerta cuesta espacio, energía y dinero.

Un circuito para $(A \land B) \lor (A \land C)$ usa 3 puertas. Con factor común, $A \land (B \lor C)$, solo necesita 2.

Condiciones legibles en un programa

Los programadores usan las leyes de De Morgan para quitar dobles negaciones confusas de las condiciones de su código.

NO (fin de semana O festivo) es lo mismo que (NO fin de semana) Y (NO festivo): la tienda abre los días que no son ni una cosa ni la otra.

Filtros de búsqueda

Los buscadores y las bases de datos simplifican los filtros con la ley de absorción antes de ejecutarlos.

El filtro matemáticas O (matemáticas Y lógica) devuelve exactamente los mismos libros que el filtro matemáticas.

El álgebra de Boole usa leyes para reescribir una expresión en otra equivalente, sin una tabla de verdad nueva cada vez

Las leyes de identidad, dominación, idempotencia y complemento eliminan constantes y variables repetidas: $A \land 1 = A$, $A \lor 1 = 1$, $A \lor A = A$, $A \land \neg A = 0$

Las leyes conmutativa, asociativa y distributiva reordenan, reagrupan y sacan factor común; en el álgebra de Boole, O también es distributiva respecto de Y

Leyes de absorción: $A \lor (A \land B) = A$ y $A \land (A \lor B) = A$

Leyes de De Morgan: rompe la barra y cambia el signo, $\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$ y $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$

Simplifica con una ley en cada paso, nombra cada ley y comprueba el resultado con una tabla de verdad; una expresión más simple significa menos puertas

Q: ¿Por qué O es distributiva respecto de Y, si con números $a + b \times c$ no es $(a + b) \times (a + c)$?

A: Porque las variables booleanas solo valen 0 o 1. Comprueba los dos casos: si $A = 1$, los dos lados de $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ valen 1; si $A = 0$, los dos lados se convierten en $B \land C$. Con números normales $1 + 2 \times 3 = 7$, pero $(1 + 2) \times (1 + 3) = 12$, así que esta ley solo se cumple en el álgebra de Boole.

Q: ¿Cómo sé qué ley usar a continuación?

A: Busca patrones: una NO delante de un paréntesis pide De Morgan, una variable repetida en dos paréntesis pide sacar factor común (ley distributiva), y una variable junto a su propia negación pide la ley del complemento. Las constantes 0 y 1 desaparecen con las leyes de identidad y de dominación.

Q: ¿Sigo necesitando tablas de verdad si conozco las leyes?

A: Las leyes encuentran la simplificación y la tabla de verdad la confirma. Una tabla con 2 variables solo tiene 4 filas, así que es una comprobación rápida y fiable, sobre todo cuando no estás seguro de un paso.

Q: ¿Puedo comprobar una ley con aritmética normal?

A: Sí, con 0 y 1: $A \land B = A \times B$, $\neg A = 1 - A$ y $A \lor B = A + B - A \times B$. Por ejemplo, con $A = 1$ y $B = 1$: $1 + 1 - 1 \times 1 = 1$, así que $1 \lor 1 = 1$. La calculadora de esta lección trabaja con estos números.

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Álgebra de Boole

Aprende las leyes del álgebra de Boole, incluidas las leyes de De Morgan, úsalas para simplificar expresiones paso a paso y comprueba el resultado con una tabla de verdad.

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