Evaluar con 1 y 0

Evalúa $A \land \neg B$ para $A = 1$ y $B = 0$.

Sustituir los valores: Cambia $A$ por $1$ y $B$ por $0$ = $1 \land \neg 0$

Primero NO: $\neg 0 = 1$ = $1 \land 1$

Después Y: Los dos valores son $1$, así que Y da $1$ = $1$

Answer: $A \land \neg B = 1$ (verdadero) para $A = 1$, $B = 0$.

Y antes que O

Evalúa $A \lor B \land C$ para $A = 1$, $B = 0$, $C = 0$.

Sustituir los valores: Cambia cada letra por su valor = $1 \lor 0 \land 0$

Y antes que O: $0 \land 0 = 0$ = $1 \lor 0$

Después O: Al menos un valor es $1$ = $1$

Comparar con izquierda a derecha: De izquierda a derecha se obtendría $(1 \lor 0) \land 0 = 1 \land 0 = 0$ = Un resultado distinto e incorrecto

Answer: $A \lor B \land C = 1$. Calculando de izquierda a derecha sale $0$, que es incorrecto porque Y va antes que O.

Los paréntesis cambian el resultado

Evalúa $\neg(A \land B)$ y $\neg A \land B$ para $A = 0$ y $B = 0$.

Primera expresión: primero el paréntesis: $A \land B = 0 \land 0 = 0$ = $\neg(0)$

Después NO: $\neg 0 = 1$ = $\neg(A \land B) = 1$

Segunda expresión: NO se aplica solo a $A$: $\neg A = \neg 0 = 1$ = $1 \land B$

Después Y: $1 \land 0 = 0$ = $\neg A \land B = 0$

Answer: $\neg(A \land B) = 1$, pero $\neg A \land B = 0$. Los paréntesis deciden a qué se aplica NO.

Una tabla de verdad completa y la equivalencia

Construye la tabla de verdad de $A \lor \neg A \land B$ y compárala con $A \lor B$.

Contar las filas: 2 variables, así que $2^2 = 4$ filas = $AB$: 00, 01, 10, 11

Columna auxiliar $\neg A$: Invertir $A$: 0, 0, 1, 1 = $\neg A$: 1, 1, 0, 0

Columna auxiliar $\neg A \land B$ (Y antes que O): $\neg A$: 1, 1, 0, 0 Y $B$: 0, 1, 0, 1 = 0, 1, 0, 0

Columna final $A \lor (\neg A \land B)$: $A$: 0, 0, 1, 1 O 0, 1, 0, 0 = 0, 1, 1, 1

Columna de $A \lor B$ y comparación: $A \lor B$: 0, 1, 1, 1 = Iguales en las 4 filas

Answer: Las dos columnas finales son 0, 1, 1, 1, así que $A \lor \neg A \land B$ y $A \lor B$ son equivalentes: la expresión más corta hace el mismo trabajo.

Tres variables: dónde van los paréntesis

Construye las tablas de verdad de $A \land (B \lor C)$ y de $A \land B \lor C$. ¿Son equivalentes?

Contar las filas: 3 variables, así que $2^3 = 8$ filas: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 = 8 filas

Columna auxiliar $B \lor C$: $B \lor C$ vale $0$ solo cuando $B = C = 0$ = 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1

Columna final $A \land (B \lor C)$: $A$ vale $1$ solo en las 4 últimas filas = 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1

Columna final $A \land B \lor C = (A \land B) \lor C$: $A \land B$: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1. O con $C$: 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 = 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1

Comparar las columnas: Se diferencian en la fila 2 (001) y en la fila 4 (011) = No son equivalentes

Answer: Las expresiones no son equivalentes: para $A = 0$, $B = 0$, $C = 1$ la primera da $0$ y la segunda da $1$. Basta con una sola fila distinta.

Mistake: Calcular de izquierda a derecha: $1 \lor 0 \land 0 = (1 \lor 0) \land 0 = 0$

Why: Y va antes que O, igual que la multiplicación va antes que la suma. Sin paréntesis, la parte Y se calcula primero.

Correct: $1 \lor 0 \land 0 = 1 \lor (0 \land 0) = 1 \lor 0 = 1$

Mistake: Aplicar NO a todo lo que sigue: leer $\neg A \land B$ como $\neg(A \land B)$

Why: Sin paréntesis, NO se aplica solo a la variable que va justo después.

Correct: $\neg A \land B = (\neg A) \land B$. Para negar todo el Y, escribe $\neg(A \land B)$.

Mistake: Sumar como si fueran números: $1 \lor 1 = 2$

Why: Una expresión booleana solo puede valer $1$ o $0$. O pregunta si al menos un valor es $1$, no los cuenta.

Correct: $1 \lor 1 = 1$, $1 \land 1 = 1$ y $\neg 1 = 0$. El resultado siempre es $1$ o $0$.

Mistake: Decir que dos expresiones son equivalentes tras probar solo una o dos entradas

Why: $A \land (B \lor C)$ y $A \land B \lor C$ tienen el mismo valor en 6 de las 8 filas y, aun así, son distintas.

Correct: Construye la tabla completa con $2^n$ filas y compara cada fila. Una fila distinta significa que no son equivalentes.

Reglas en un programa

Los programadores escriben reglas como expresiones booleanas y prueban todas las combinaciones de entradas antes de publicar el programa.

Una atracción de un parque te deja subir si $T \land (H \lor P)$: $T$ = tienes entrada, $H$ = tienes la altura mínima, $P$ = sube contigo un padre o una madre.

Filtros de spam

Un programa de correo decide con una expresión booleana si un mensaje va a la carpeta de spam.

Un filtro marca un correo como spam si $L \lor S \land \neg K$: $L$ = el remitente está en una lista negra, $S$ = palabras sospechosas, $K$ = el remitente está en tus contactos.

Reglas de una casa inteligente

Dos expresiones distintas pueden controlar un aparato exactamente igual. Una tabla de verdad muestra cuándo una regla larga se puede cambiar por una corta.

Una luz del jardín usa la regla $M \lor M \land N$: $M$ = se detecta movimiento, $N$ = es de noche.

Q: ¿Por qué Y va antes que O?

A: Es un acuerdo, como la multiplicación antes que la suma. Con 0 y 1, Y se comporta como la multiplicación ($1 \times 0 = 0$), y O se suele comparar con la suma, así que el mismo orden resulta natural.

Q: ¿Puedo poner paréntesis en todas partes?

A: Sí. Los paréntesis que siguen la precedencia de operadores nunca cambian el valor y hacen la expresión más fácil de leer. $A \lor (B \land C)$ es lo mismo que $A \lor B \land C$, pero la primera forma muestra el orden de un vistazo.

Q: ¿1 y 0 son lo mismo que verdadero y falso?

A: Sí. 1 representa verdadero y 0 representa falso. Los ordenadores usan 1 y 0 porque lo guardan todo en bits. Las tablas interactivas de esta lección también usan 1 y 0.

Q: ¿Hay una forma más rápida que la tabla de verdad para demostrar que dos expresiones son equivalentes?

A: Sí. El álgebra de Boole tiene leyes (como las leyes de De Morgan) que transforman una expresión en otra paso a paso. Las verás en la lección Álgebra de Boole. Una tabla de verdad es más lenta, pero siempre funciona.