Recíproca e inversa

Todo **enunciado condicional** tiene la forma $p \to q$: **si** $p$ (la hipótesis), **entonces** $q$ (la conclusión). A partir de él podemos construir dos enunciados nuevos: - La **recíproca** intercambia las dos partes: $q \to p$ (si $q$, entonces $p$). - La **inversa** niega las dos partes: $\neg p \to \neg q$ (si no $p$, entonces no $q$). **Ejemplo:** Original: Si un número es divisible entre 4, entonces es par. - Recíproca: Si un número es par, entonces es divisible entre 4. (Falsa: 6 es par, pero $6 \div 4 = 1{,}5$.) - Inversa: Si un número no es divisible entre 4, entonces no es par. (Falsa: otra vez el 6.) La tabla de verdad muestra que la recíproca y la inversa **no** siempre coinciden con el original, pero siempre coinciden **entre sí**: $$\begin{array}{cc|c|c|c} p & q & p \to q & q \to p & \neg p \to \neg q \\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} \\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \end{array}$$ Para demostrar que un enunciado es falso, basta con un solo **contraejemplo**. Cuando un enunciado y su recíproca son **los dos** verdaderos, los unimos en un **bicondicional**: $p \leftrightarrow q$, que se lee $p$ **si y solo si** $q$.

Formar la recíproca

Original: Si una figura es un cuadrado, entonces tiene cuatro lados. Escribe la recíproca y decide si es verdadera.

Identificar la hipótesis y la conclusión: $p$: una figura es un cuadrado. $q$: tiene cuatro lados. = Original: $p \to q$ (verdadero)

Intercambiar las dos partes: $q \to p$: Si una figura tiene cuatro lados, entonces es un cuadrado. = Esta es la recíproca

Buscar un contraejemplo: Un rectángulo de 5 cm por 3 cm tiene cuatro lados, pero no es un cuadrado. = La recíproca es falsa

Answer: Recíproca: Si una figura tiene cuatro lados, entonces es un cuadrado. Es falsa, porque un rectángulo de 5 cm por 3 cm es un contraejemplo.

Formar la inversa

Original: Si un número es divisible entre 4, entonces es par. Escribe la inversa y compruébala con el número 6.

Negar la hipótesis: no $p$: un número no es divisible entre 4 = $\neg p$

Negar la conclusión: no $q$: no es par = $\neg q$

Escribir la inversa: Si un número no es divisible entre 4, entonces no es par. = $\neg p \to \neg q$

Comprobar con 6: $6 \div 4 = 1{,}5$, así que 6 no es divisible entre 4, pero $6 \div 2 = 3$, así que 6 es par. = La inversa es falsa

Answer: Inversa: Si un número no es divisible entre 4, entonces no es par. Es falsa: 6 no es divisible entre 4 y, sin embargo, es par.

Un contraejemplo para las dos

Original: Si $x = 3$, entonces $x^2 = 9$. Halla el valor de verdad del original, de la recíproca y de la inversa.

Comprobar el original: Si $x = 3$, entonces $x^2 = 3 \times 3 = 9$. = Original: verdadero

Escribir y comprobar la recíproca: Si $x^2 = 9$, entonces $x = 3$. Prueba con $x = -3$: $(-3)^2 = 9$, pero $-3 \neq 3$. = Recíproca: falsa

Escribir y comprobar la inversa: Si $x \neq 3$, entonces $x^2 \neq 9$. Prueba con $x = -3$: $-3 \neq 3$, pero $(-3)^2 = 9$. = Inversa: falsa

Comparar: El mismo número $-3$ falla en la recíproca y en la inversa. = Recíproca e inversa coinciden

Answer: El original es verdadero, mientras que la recíproca y la inversa son falsas. El contraejemplo $x = -3$ sirve para las dos.

Cuando los dos sentidos son verdaderos

Original: Si un ángulo mide $90^\circ$, entonces es un ángulo recto. ¿Puedes escribirlo como bicondicional?

Comprobar el original: Todo ángulo de $90^\circ$ es un ángulo recto por definición. = Original: verdadero

Escribir la recíproca: Si un ángulo es recto, entonces mide $90^\circ$. = Recíproca: $q \to p$

Comprobar la recíproca: Todo ángulo recto mide exactamente $90^\circ$. No hay ningún contraejemplo. = Recíproca: verdadera

Unir los dos sentidos: $p \to q$ y $q \to p$ son verdaderas, así que $p \leftrightarrow q$. = Bicondicional

Answer: Sí: Un ángulo es recto si y solo si mide $90^\circ$.

Original falso, recíproca verdadera

Original: Si un número es múltiplo de 3, entonces es múltiplo de 6. Halla los valores de verdad del original, de la recíproca y de la inversa.

Comprobar el original: 9 es múltiplo de 3, pero $9 \div 6 = 1{,}5$. = Original: falso

Comprobar la recíproca: Si un número es múltiplo de 6, entonces es múltiplo de 3. Todo múltiplo de 6 es $6k = 3 \times 2k$. = Recíproca: verdadera

Comprobar la inversa: Si un número no es múltiplo de 3, entonces no es múltiplo de 6. Un múltiplo de 6 también sería múltiplo de 3, así que nunca falla. = Inversa: verdadera

Sacar una conclusión: El valor de verdad del original no dice nada sobre la recíproca. = Hay que comprobar cada enunciado

Answer: El original es falso (contraejemplo 9), mientras que la recíproca y la inversa son verdaderas.

Confundir un enunciado con su recíproca es uno de los errores de razonamiento más comunes: - **Matemáticas**: que un teorema sea verdadero no hace verdadera su recíproca. El teorema de Pitágoras y su recíproco se demuestran por separado. - **Definiciones**: una buena definición es un bicondicional. Tiene que funcionar en los dos sentidos. - **Publicidad**: si contratas el plan premium, tienes un servicio más rápido. Eso no significa que todos los que tienen un servicio rápido hayan contratado el plan premium. - **Programación**: un programa que comprueba si x es divisible entre 6 y por tanto par no debe suponer el sentido contrario. - **Vida diaria**: si llueve, la calle está mojada. Una calle mojada no demuestra que haya llovido, quizá pasó un camión de limpieza. Detectar una recíproca falsa con un contraejemplo es una habilidad que usarás en cada demostración.

Mistake: Suponer que la recíproca es verdadera porque el original lo es

Why: Al intercambiar hipótesis y conclusión se crea un enunciado nuevo con su propio valor de verdad. Si $x = 3$, entonces $x^2 = 9$ es verdadero, pero si $x^2 = 9$, entonces $x = 3$ es falso.

Correct: Comprueba siempre la recíproca por separado y busca un contraejemplo, aquí $x = -3$.

Mistake: Confundir la recíproca con la inversa

Why: Las dos se construyen con las mismas dos partes, así que se parecen. La recíproca cambia el orden, la inversa añade dos negaciones.

Correct: Recíproca = intercambiar: $q \to p$. Inversa = negar las dos: $\neg p \to \neg q$.

Mistake: Negar solo una parte al formar la inversa

Why: Escribir $\neg p \to q$ (si no es un cuadrado, entonces tiene cuatro lados) no es la inversa. Es un enunciado totalmente distinto.

Correct: Pon no delante de la hipótesis **y** de la conclusión: si no es un cuadrado, entonces no tiene cuatro lados.

Mistake: Usar un ejemplo que funciona como prueba de que la recíproca es verdadera

Why: En si $x^2 = 9$, entonces $x = 3$, el ejemplo $x = 3$ funciona, pero $x = -3$ no. Los ejemplos que funcionan nunca demuestran un enunciado general.

Correct: Un contraejemplo demuestra que un enunciado es falso. Para demostrar que es verdadero necesitas un razonamiento que cubra todos los casos.

Promociones en tiendas

Las tiendas expresan sus reglas como enunciados condicionales. Los clientes a menudo las leen al revés, y eso es justo la recíproca.

Regla: Si tu pedido supera los 50 dólares, entonces el envío es gratis. Recíproca: Si el envío es gratis, entonces tu pedido superaba los 50 dólares. Un código de socio también puede dar envío gratis, así que la recíproca puede ser falsa.

Comprobar reglas en programas

Los programadores escriben condiciones como si n es divisible entre 6, entonces n es par. Darle la vuelta a una condición así es un error clásico.

Un programa solo acepta números divisibles entre 6 y los marca como pares. Un programador invierte la comprobación y acepta todo número par como divisible entre 6. El número 8 se cuela por error.

Buenas definiciones

Los diccionarios y los libros de matemáticas escriben definiciones que funcionan en los dos sentidos. Una definición es un bicondicional, un enunciado si y solo si.

Un triángulo es rectángulo si y solo si tiene un ángulo de $90^\circ$. Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo de $90^\circ$, y todo triángulo con un ángulo de $90^\circ$ es rectángulo.

Un enunciado condicional tiene la forma $p \to q$: si $p$, entonces $q$

La recíproca intercambia las partes: $q \to p$

La inversa niega las dos partes: $\neg p \to \neg q$

Un enunciado verdadero puede tener una recíproca y una inversa falsas, por ejemplo si $x = 3$, entonces $x^2 = 9$

La recíproca y la inversa siempre tienen el mismo valor de verdad, y basta un contraejemplo para demostrar que un enunciado es falso

Cuando un enunciado y su recíproca son verdaderos, forman un bicondicional $p \leftrightarrow q$ (si y solo si)

Q: Si el original es verdadero, ¿puede ser verdadera también la recíproca?

A: A veces. Si un ángulo mide $90^\circ$, entonces es recto, y la recíproca también es verdadera. Pero siempre tienes que comprobarla por separado, nunca se deduce automáticamente.

Q: ¿Por qué la recíproca y la inversa tienen siempre el mismo valor de verdad?

A: Mira la tabla de verdad: las columnas de $q \to p$ y $\neg p \to \neg q$ son iguales en las cuatro filas. En la próxima lección verás por qué: cada una es la contrarrecíproca de la otra.

Q: ¿Qué significa si y solo si?

A: Significa que los dos sentidos son verdaderos: $p \to q$ y $q \to p$. Se escribe $p \leftrightarrow q$. Por ejemplo, $x + 4 = 10$ si y solo si $x = 6$.

Q: ¿Cuántos contraejemplos necesito?

A: Solo uno. Un único caso en el que la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa demuestra que todo el enunciado es falso.

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Recíproca e inversa

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Lógica y Conjuntos / Razonamiento lógico

Recíproca e inversa

Aprende a formar la recíproca y la inversa de un enunciado condicional y descubre por qué un enunciado verdadero puede tener una recíproca falsa.

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