Si n² es par, entonces n es par

Demuestra: para todo entero $n$, si $n^2$ es par, entonces $n$ es par.

Escribe la contrarrecíproca: Niega las dos partes e intercámbialas: "si $n$ no es par, entonces $n^2$ no es par" = Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar

Supón la conclusión negada: Supón que $n$ es impar, así que $n = 2k + 1$ para algún entero $k$ = $n = 2k + 1$

Eleva al cuadrado y desarrolla: $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ = $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Escríbelo en la forma 2m + 1: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, y $m = 2k^2 + 2k$ es un entero = $n^2$ es impar

Concluye: Hemos demostrado "$n$ impar $\Rightarrow$ $n^2$ impar", la contrarrecíproca del enunciado = Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par

Answer: La contrarrecíproca (si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar) es verdadera, así que el enunciado original es verdadero. c. q. d.

Si n² es impar, entonces n es impar

Demuestra: para todo entero $n$, si $n^2$ es impar, entonces $n$ es impar.

Escribe la contrarrecíproca: No impar significa par, tanto para la conclusión como para la hipótesis = Si $n$ es par, entonces $n^2$ es par

Supón la conclusión negada: Supón que $n$ es par, así que $n = 2k$ para algún entero $k$ = $n = 2k$

Eleva al cuadrado: $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ = $n^2 = 2(2k^2)$

Concluye: $2k^2$ es un entero, así que $n^2$ es par: hemos llegado a $\neg p$ = La contrarrecíproca está demostrada

Answer: Como "$n$ par $\Rightarrow$ $n^2$ par" es verdadera, "$n^2$ impar $\Rightarrow$ $n$ impar" es verdadera. c. q. d.

Si xy es impar, entonces x e y son impares

Demuestra: para todos los enteros $x$ e $y$, si $xy$ es impar, entonces $x$ e $y$ son ambos impares.

Niega la conclusión con cuidado: La negación de "$x$ es impar e $y$ es impar" es "$x$ es par o $y$ es par" (la y se convierte en o) = $\neg q$: $x$ es par o $y$ es par

Escribe la contrarrecíproca: Si $x$ es par o $y$ es par, entonces $xy$ no es impar = Si $x$ o $y$ es par, entonces $xy$ es par

Caso 1: x es par: $x = 2k$, así que $xy = 2ky = 2(ky)$, y $ky$ es un entero = $xy$ es par

Caso 2: y es par: $y = 2j$, así que $xy = 2xj = 2(xj)$, y $xj$ es un entero = $xy$ es par

Concluye: En los dos casos $xy$ es par, así que la contrarrecíproca se cumple = Si $xy$ es impar, entonces $x$ e $y$ son impares

Answer: Cada caso de la conclusión negada lleva a $xy$ par, así que el enunciado original es verdadero. c. q. d.

Si x + y ≥ 10, entonces x ≥ 5 o y ≥ 5

Demuestra: para todos los números reales $x$ e $y$, si $x + y \geq 10$, entonces $x \geq 5$ o $y \geq 5$.

Niega la conclusión: La negación de "$x \geq 5$ o $y \geq 5$" es "$x < 5$ e $y < 5$" (la o se convierte en y, $\geq$ se convierte en $<$) = $\neg q$: $x < 5$ e $y < 5$

Niega la hipótesis: La negación de $x + y \geq 10$ es $x + y < 10$ = $\neg p$: $x + y < 10$

Supón la conclusión negada: Supón $x < 5$ e $y < 5$ = Dos desigualdades

Suma las desigualdades: $x + y < 5 + 5 = 10$ = $x + y < 10$

Concluye: Hemos llegado a $\neg p$ partiendo de $\neg q$ = El enunciado original es verdadero

Answer: Si $x < 5$ e $y < 5$, entonces $x + y < 10$. Esa es la contrarrecíproca, así que $x + y \geq 10$ obliga a que $x \geq 5$ o $y \geq 5$. c. q. d.

Elegir el método: n² - 6n + 5

Demuestra: para todo entero $n$, si $n^2 - 6n + 5$ es par, entonces $n$ es impar.

Prueba primero la vía directa: Suponer "$n^2 - 6n + 5$ es par" da una ecuación $n^2 - 6n + 5 = 2m$ que dice poco sobre $n$ = La demostración directa es engorrosa

Escribe la contrarrecíproca: Si $n$ es par, entonces $n^2 - 6n + 5$ es impar = $\neg q \to \neg p$

Supón n par y sustituye: $n = 2k$, así que $n^2 - 6n + 5 = 4k^2 - 12k + 5$ = $4k^2 - 12k + 5$

Escríbelo en la forma 2m + 1: $4k^2 - 12k + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ = La expresión es impar

Comprueba con un número: $k = 5$, $n = 10$: $100 - 60 + 5 = 45 = 2 \cdot 22 + 1$ = Impar, como se predijo

Answer: Si $n$ es par, entonces $n^2 - 6n + 5$ es impar. Esa es la contrarrecíproca, así que el enunciado original es verdadero. c. q. d.

Mistake: Demostrar la recíproca en lugar de la contrarrecíproca: para "si $n^2$ es par, entonces $n$ es par", suponer $n$ par y mostrar que $n^2$ es par

Why: Eso demuestra $q \to p$, la recíproca, que es otro enunciado. Una implicación y su recíproca no son equivalentes.

Correct: Niega las dos partes e intercámbialas: supón $n$ impar ($\neg q$) y muestra que $n^2$ es impar ($\neg p$).

Mistake: Negar "$x$ e $y$ son impares" como "$x$ e $y$ son pares"

Why: La conclusión ya falla en cuanto uno solo de los números es par. "Ambos pares" cubre solo una parte de los casos, así que la demostración quedaría incompleta.

Correct: "No ($a$ y $b$)" es "no $a$ o no $b$": $x$ es par o $y$ es par. Luego demuestra cada caso.

Mistake: Negar $x \geq 5$ como $x \leq 5$

Why: El valor $x = 5$ cumple a la vez $x \geq 5$ y $x \leq 5$, así que $x \leq 5$ no es lo contrario de $x \geq 5$.

Correct: La negación de $x \geq 5$ es $x < 5$, y la negación de $x > 5$ es $x \leq 5$.

Mistake: Suponer $\neg q$ y luego buscar "alguna contradicción"

Why: Eso mezcla dos métodos. En una demostración por contrarrecíproca no hay contradicción: tienes un objetivo claro.

Correct: Supón $\neg q$ y trabaja hasta llegar exactamente a $\neg p$. Buscar cualquier contradicción es propio de la reducción al absurdo.

Control de calidad

Los inspectores usan la contrarrecíproca para descartar casos sin pesar cada artículo dos veces.

Regla: si un paquete de 4 cajas pesa al menos 2000 g, entonces al menos una caja pesa al menos 500 g. Contrarrecíproca: si cada caja pesa menos de 500 g, el paquete pesa menos de 2000 g.

Probar software

Los programadores prueban el código con la contrarrecíproca: si el código es correcto, una prueba da el resultado correcto, así que un resultado erróneo demuestra un fallo.

Una función debe calcular $f(n) = 3n + 2$. Hemos demostrado: si $f(n)$ es impar, entonces $n$ es impar. Contrarrecíproca: un $n$ par tiene que dar un resultado par.

Dígitos de control en códigos

Muchos códigos usan una regla sencilla para detectar errores de tecleo. La contrarrecíproca te dice cuándo un código es seguro que está mal.

Regla: si un código es válido, entonces la suma de sus cifras es divisible entre 9. Contrarrecíproca: si la suma de las cifras no es divisible entre 9, el código no es válido.

Q: ¿Por qué demostrar la contrarrecíproca demuestra el enunciado original?

A: Porque son lógicamente equivalentes: en la tabla de verdad, $p \to q$ y $\neg q \to \neg p$ son falsas exactamente en la misma fila ($p$ verdadera, $q$ falsa) y verdaderas en todas las demás. Demostrar una es demostrar la otra.

Q: ¿Cómo sé cuándo usar la contrarrecíproca en lugar de una demostración directa?

A: Mira la hipótesis. Si es difícil de usar (un enunciado sobre $n^2$, un producto, una suma) y la conclusión negada te da una fórmula ($n = 2k$, $n = 2k + 1$, $x < 5$ e $y < 5$), la contrarrecíproca suele ser más corta.

Q: ¿Qué diferencia hay con la reducción al absurdo?

A: En la reducción al absurdo supones $p$ y $\neg q$ y buscas cualquier situación imposible. En la demostración por contrarrecíproca supones solo $\neg q$ y tienes que llegar al enunciado concreto $\neg p$. Toda demostración por contrarrecíproca se puede reescribir como reducción al absurdo, pero no al revés.

Q: Si demuestro la contrarrecíproca, ¿también es verdadera la recíproca?

A: No automáticamente. La recíproca $q \to p$ es un enunciado distinto. Por ejemplo, "si $n^2$ es par, entonces $n$ es par" y su recíproca "si $n$ es par, entonces $n^2$ es par" son ambas verdaderas, pero cada una necesita su propia demostración.