Demostraciones a dos columnas

Una **demostración a dos columnas** es una demostración escrita en forma de tabla. En la columna izquierda van las **afirmaciones** (lo que sabemos en cada paso) y en la columna derecha las **justificaciones** (por qué cada afirmación es verdadera). La demostración empieza con lo **dado** (la información que nos dan) y termina con la afirmación que había que **demostrar**. **Dado:** $3x + 5 = 20$ **Demostrar:** $x = 5$ | N.º | Afirmación | Justificación | |---|---|---| | 1 | $3x + 5 = 20$ | Dado | | 2 | $3x = 15$ | Propiedad de la igualdad (resta) | | 3 | $x = 5$ | Propiedad de la igualdad (división) | Cada justificación debe ser un dato, una definición, una propiedad, un postulado o un teorema ya demostrado. Las justificaciones que más vas a usar: | Justificación | Qué permite | |---|---| | Propiedad de la igualdad (suma y resta) | Si $a = b$, entonces $a + c = b + c$ y $a - c = b - c$ | | Propiedad de la igualdad (multiplicación y división) | Si $a = b$, entonces $ac = bc$ y $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ para $c \neq 0$ | | Sustitución | Si $a = b$, puedes cambiar $a$ por $b$ en cualquier afirmación | | Propiedad distributiva | $a(b + c) = ab + ac$ | | Propiedad reflexiva | $a = a$ | | Propiedad simétrica | Si $a = b$, entonces $b = a$ | | Propiedad transitiva | Si $a = b$ y $b = c$, entonces $a = c$ | Con segmentos y ángulos también usarás: - **Postulado de la suma de segmentos:** si $B$ está entre $A$ y $C$ en una recta, entonces $AB + BC = AC$ - **Postulado de la suma de ángulos:** si el punto $D$ está en el interior de $\angle ABC$, entonces $m\angle ABD + m\angle DBC = m\angle ABC$ - **Definiciones:** los ángulos complementarios suman $90^\circ$ y los suplementarios suman $180^\circ$ - **Teorema de los ángulos opuestos por el vértice:** los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo

Resolver una ecuación como demostración

**Dado:** $3x + 5 = 20$. **Demostrar:** $x = 5$. Escribe la demostración a dos columnas.

Escribe el dato como afirmación 1: Afirmación: $3x + 5 = 20$ = Justificación: dado

Resta 5 en ambos miembros: $3x + 5 - 5 = 20 - 5$, así que la afirmación es $3x = 15$ = Justificación: propiedad de la igualdad (resta)

Divide ambos miembros entre 3: $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$, así que la afirmación es $x = 5$ = Justificación: propiedad de la igualdad (división)

Comprueba que la última afirmación es la que había que demostrar: La afirmación 3 es $x = 5$, justo lo que había que demostrar = La demostración está completa

Answer: 1. $3x + 5 = 20$ (dado); 2. $3x = 15$ (propiedad de la igualdad, resta); 3. $x = 5$ (propiedad de la igualdad, división).

Completar las justificaciones que faltan

**Dado:** $2(x - 4) = 10$. **Demostrar:** $x = 9$. Las afirmaciones son 1. $2(x - 4) = 10$, 2. $2x - 8 = 10$, 3. $2x = 18$, 4. $x = 9$. Encuentra la justificación de cada afirmación.

La afirmación 1 es la información de partida: $2(x - 4) = 10$ nos la dieron = Justificación 1: dado

Compara las afirmaciones 1 y 2: $2(x - 4)$ se convirtió en $2x - 8$: el 2 se multiplicó dentro del paréntesis = Justificación 2: propiedad distributiva

Compara las afirmaciones 2 y 3: $2x - 8 + 8 = 10 + 8$: se sumó 8 en ambos miembros = Justificación 3: propiedad de la igualdad (suma)

Compara las afirmaciones 3 y 4: $\frac{2x}{2} = \frac{18}{2}$: se dividieron ambos miembros entre 2 = Justificación 4: propiedad de la igualdad (división)

Answer: Dado, propiedad distributiva, propiedad de la igualdad (suma), propiedad de la igualdad (división). Comprobación: $2(9 - 4) = 2 \cdot 5 = 10$.

Una demostración con segmentos

Los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ están en una recta en este orden. **Dado:** $AB = CD$. **Demostrar:** $AC = BD$.

Empieza con el dato: Afirmación: $AB = CD$ = Justificación: dado

Escribe que $BC$ es igual a sí mismo: Afirmación: $BC = BC$ = Justificación: propiedad reflexiva

Suma $BC$ en ambos miembros de la afirmación 1: Afirmación: $AB + BC = CD + BC$ = Justificación: propiedad de la igualdad (suma)

Usa la suma de segmentos en ambos lados: Afirmación: $AB + BC = AC$ y $BC + CD = BD$ = Justificación: postulado de la suma de segmentos

Sustituye las dos sumas en la afirmación 3: Afirmación: $AC = BD$ = Justificación: sustitución

Answer: $AC = BD$. Comprobación con números: si $AB = CD = 4$ y $BC = 7$, entonces $AC = 11$ y $BD = 11$.

Ángulos suplementarios

**Dado:** $\angle 1$ y $\angle 2$ son suplementarios, $m\angle 1 = 65^\circ$. **Demostrar:** $m\angle 2 = 115^\circ$.

Escribe los datos: Afirmación: $\angle 1$ y $\angle 2$ son suplementarios, $m\angle 1 = 65^\circ$ = Justificación: dado

Usa lo que significa suplementarios: Afirmación: $m\angle 1 + m\angle 2 = 180^\circ$ = Justificación: definición de ángulos suplementarios

Pon $65^\circ$ en lugar de $m\angle 1$: Afirmación: $65^\circ + m\angle 2 = 180^\circ$ = Justificación: sustitución

Resta $65^\circ$ en ambos miembros: Afirmación: $m\angle 2 = 115^\circ$ = Justificación: propiedad de la igualdad (resta)

Answer: $m\angle 2 = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$, y cada paso tiene su justificación.

Demostrar el teorema de los ángulos opuestos por el vértice

Dos rectas se cortan y forman, uno tras otro, $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, así que $\angle 1$ y $\angle 3$ son opuestos por el vértice. **Dado:** $\angle 1$ y $\angle 2$ forman un par lineal, $\angle 2$ y $\angle 3$ forman un par lineal. **Demostrar:** $m\angle 1 = m\angle 3$.

Escribe los datos: Afirmación: $\angle 1, \angle 2$ y $\angle 2, \angle 3$ son pares lineales = Justificación: dado

Los ángulos de un par lineal están sobre una recta: Afirmación: $m\angle 1 + m\angle 2 = 180^\circ$ y $m\angle 2 + m\angle 3 = 180^\circ$ = Justificación: postulado del par lineal (un par lineal es suplementario)

Las dos sumas valen $180^\circ$, así que son iguales entre sí: Afirmación: $m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 2 + m\angle 3$ = Justificación: sustitución

Resta $m\angle 2$ en ambos miembros: Afirmación: $m\angle 1 = m\angle 3$ = Justificación: propiedad de la igualdad (resta)

Answer: Los ángulos opuestos por el vértice siempre miden lo mismo. A partir de ahora puedes usarlo como justificación: teorema de los ángulos opuestos por el vértice.

Las demostraciones a dos columnas hacen visible cada paso de un razonamiento: - **Sin saltos ocultos**: cada afirmación necesita su propia justificación, así que un hueco o un error se ve enseguida - **Álgebra con comprensión**: al resolver una ecuación sabes exactamente qué propiedad permite cada paso - **Geometría**: la mayoría de las demostraciones escolares sobre segmentos, ángulos y triángulos se escriben a dos columnas - **Programación**: revisar un código línea por línea, con una razón para cada línea, funciona igual - **Comunicación clara**: cualquiera puede comprobar tu demostración fila por fila Cuando sabes justificar cada paso, puedes confiar en tu resultado, ¡y los demás también!

Mistake: Escribir lo que hiciste en vez de una justificación, por ejemplo "pasé el 5 al otro lado"

Why: Una justificación debe nombrar una regla que todos aceptan. "Pasar" un número no es una regla y esconde lo que de verdad ocurrió.

Correct: Nombra la propiedad: pasar de $3x + 5 = 20$ a $3x = 15$ es la propiedad de la igualdad (resta), porque se restó 5 en ambos miembros.

Mistake: Elegir la división en vez de la multiplicación para pasar de $\frac{x}{4} = 3$ a $x = 12$

Why: El paso deshace una división, pero lo que haces en realidad es multiplicar ambos miembros por 4.

Correct: Pregúntate qué hiciste en ambos miembros. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ es la propiedad de la igualdad (multiplicación).

Mistake: Usar la afirmación que hay que demostrar como justificación o como afirmación 1

Why: La afirmación que hay que demostrar es la meta. Si la usas antes de llegar a ella, el razonamiento es circular y no demuestra nada.

Correct: La afirmación 1 siempre es un dato. Lo que hay que demostrar aparece una sola vez, como última afirmación.

Mistake: Hacer dos pasos en una fila con una sola justificación

Why: Pasar de $2(x - 4) = 10$ directamente a $2x = 18$ usa dos propiedades distintas, así que una sola justificación no basta.

Correct: Un paso por fila: primero $2x - 8 = 10$ (propiedad distributiva), después $2x = 18$ (propiedad de la igualdad, suma).

Revisar código línea por línea

Los programadores demuestran que un cálculo es correcto justificando cada línea, igual que las filas de una demostración a dos columnas.

Un programa resuelve $4x - 7 = 21$. Una revisora comprueba cada línea: sumar 7 (propiedad de la igualdad, suma) y luego dividir entre 4 (propiedad de la igualdad, división).

Montar una escuadra para una estantería

Los carpinteros usan la suma de ángulos cuando un refuerzo diagonal divide el ángulo recto entre la pared y la balda.

La pared y la balda se encuentran a $90^\circ$. Un refuerzo divide esa esquina en dos ángulos que suman $90^\circ$.

Distancias en una carretera recta

En una carretera recta, las distancias entre pueblos siguen el postulado de la suma de segmentos, así que se puede demostrar una distancia que falta.

Si el pueblo $B$ está entre los pueblos $A$ y $C$, entonces $AB + BC = AC$.

Una demostración a dos columnas pone las afirmaciones a la izquierda y sus justificaciones a la derecha

Empieza con lo dado y termina exactamente con la afirmación que había que demostrar

Cada justificación es un dato, una definición, una propiedad, un postulado o un teorema anterior

Propiedades de la igualdad: lo que sumas, restas, multiplicas o divides en un miembro, lo haces también en el otro

La sustitución, las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva y la propiedad distributiva también son justificaciones válidas

Con segmentos y ángulos usa la suma de segmentos y de ángulos, las definiciones de ángulos complementarios ($90^\circ$) y suplementarios ($180^\circ$) y los ángulos opuestos por el vértice

Q: ¿Una demostración a dos columnas es distinta de resolver una ecuación?

A: Los pasos son los mismos. La diferencia es que en una demostración escribes la justificación de cada paso, así que no solo muestras el resultado, sino también por qué cada paso está permitido.

Q: ¿Cómo sé qué justificación escribir?

A: Compara la nueva afirmación con la anterior y pregúntate qué cambió. ¿Se sumó algo en ambos miembros? ¿Se quitó un paréntesis multiplicando? ¿Se puso un valor en lugar de otro? El cambio te dice la justificación.

Q: ¿Qué diferencia hay entre la sustitución y la propiedad transitiva?

A: La transitiva trabaja con tres cosas iguales: si $a = b$ y $b = c$, entonces $a = c$. La sustitución es más general: cambias una cantidad por otra igual dentro de cualquier afirmación, por ejemplo $65^\circ$ en lugar de $m\angle 1$. Muchos profesores aceptan las dos cuando ambas encajan.

Q: ¿Puede una demostración tener varias versiones correctas?

A: Sí. A veces puedes hacer los pasos en otro orden o usar otra propiedad. Una demostración es correcta mientras cada afirmación se deduzca de las anteriores y cada justificación sea válida.

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Demostraciones a dos columnas

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Lógica y Conjuntos / Demostraciones matemáticas

Demostraciones a dos columnas

Aprende a escribir demostraciones a dos columnas: cada afirmación a la izquierda y su justificación a la derecha, con ecuaciones, segmentos y ángulos.

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