Caseta de jardín: prisma con tejado de pirámide

Una caseta de jardín tiene una base con forma de caja de $4$ m de largo, $3$ m de ancho y $2{,}5$ m de alto. Encima hay un tejado con forma de pirámide con la misma base rectangular de $4$ m por $3$ m y una altura de $1{,}5$ m. ¿Cuál es el volumen total de la caseta?

Nombra las partes: Prisma rectangular ($4 \times 3 \times 2{,}5$) + pirámide (base $4 \times 3$, altura $1{,}5$) = Dos partes unidas

Volumen del prisma: $V_1 = 4 \times 3 \times 2{,}5 = 30$ = $30$ m³

Área de la base de la pirámide: $B = 4 \times 3 = 12$ = $12$ m²

Volumen de la pirámide: $V_2 = \frac{1}{3} \times 12 \times 1{,}5 = 6$ = $6$ m³

Suma las partes: $V = 30 + 6 = 36$ = $36$ m³

Answer: La caseta tiene un volumen de $36$ m³.

Lápiz afilado: cilindro con cono

Un lápiz de maqueta es un cilindro de radio $3$ cm y altura $10$ cm. En un extremo tiene un cono con el mismo radio de $3$ cm y una altura de $4$ cm. Calcula el volumen. Usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea a las décimas.

Nombra las partes: Cilindro ($r = 3$, $h = 10$) + cono ($r = 3$, $h = 4$). La longitud total de $14$ cm NO se usa en ninguna fórmula. = Dos partes unidas

Cilindro en función de $\pi$: $V_1 = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi$ = $90\pi$ cm³

Cono en función de $\pi$: $V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$ = $12\pi$ cm³

Suma y multiplica por $3{,}14$ una sola vez: $90\pi + 12\pi = 102\pi \approx 102 \times 3{,}14 = 320{,}28$ = $\approx 320{,}3$ cm³

Answer: El lápiz tiene un volumen de $102\pi \approx 320{,}3$ cm³.

Silo de grano: cilindro con semiesfera

Un silo de grano es un cilindro de radio $2$ m y altura $6$ m. Su techo es una semiesfera (media esfera) con el mismo radio de $2$ m. ¿Cuánto grano cabe en el silo lleno? Usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea a las décimas.

Nombra las partes: Cilindro ($r = 2$, $h = 6$) + semiesfera ($r = 2$) = Dos partes unidas

Cilindro: $V_1 = \pi \times 2^2 \times 6 = 24\pi$ = $24\pi$ m³

Semiesfera: la mitad de una esfera: $V_2 = \frac{2}{3} \times \pi \times 2^3 = \frac{16}{3}\pi$ = $\frac{16}{3}\pi$ m³

Suma en función de $\pi$: $24\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{72}{3}\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{88}{3}\pi$ = $\frac{88}{3}\pi$ m³

Usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea al final: $\frac{88 \times 3{,}14}{3} = \frac{276{,}32}{3} \approx 92{,}11$ = $\approx 92{,}1$ m³

Answer: En el silo caben unos $92{,}1$ m³ de grano.

Cucurucho con una bola de helado

Un cono de altura $10$ cm y radio $3$ cm está lleno de helado, y encima hay una bola con forma de semiesfera de radio $3$ cm. ¿Cuántos mililitros de helado hay? Usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea a las unidades.

Nombra las partes: Cono ($r = 3$, $h = 10$) + semiesfera ($r = 3$) = Dos partes unidas

Cono: $V_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi$ = $30\pi$ cm³

Semiesfera: $V_2 = \frac{2}{3} \times \pi \times 3^3 = 18\pi$ = $18\pi$ cm³

Suma y usa $3{,}14$: $30\pi + 18\pi = 48\pi \approx 48 \times 3{,}14 = 150{,}72$ = $\approx 150{,}72$ cm³

Pasa a mililitros: $1$ cm³ $= 1$ mL, así que $150{,}72$ cm³ $= 150{,}72$ mL = $\approx 151$ mL

Answer: Hay unos $151$ mL de helado.

Tubería hueca: restar un cilindro

Una tubería de hormigón mide $100$ cm de largo. Su radio exterior es de $5$ cm y el agujero del centro tiene un radio de $4$ cm. ¿Qué volumen de hormigón tiene la tubería? Usa $\pi \approx 3{,}14$.

Describe el cuerpo: Cilindro grande ($r = 5$, $h = 100$) al que se le quita un cilindro más pequeño ($r = 4$, $h = 100$) = Restar

Cilindro exterior: $V_{\text{ext}} = \pi \times 5^2 \times 100 = 2500\pi$ = $2500\pi$ cm³

Agujero (cilindro interior): $V_{\text{agujero}} = \pi \times 4^2 \times 100 = 1600\pi$ = $1600\pi$ cm³

Resta y usa $3{,}14$: $2500\pi - 1600\pi = 900\pi \approx 900 \times 3{,}14 = 2826$ = $2826$ cm³

Answer: La tubería tiene unos $2826$ cm³ de hormigón, que son unos $2{,}8$ L.

Mistake: Usar la altura total para cada parte (un lápiz de $14$ cm calculado como un cilindro de altura $14$ más un cono de altura $4$)

Why: Cada parte tiene su propia altura. La altura total pertenece al objeto entero, no a una sola parte, así que la zona del cono se cuenta dos veces.

Correct: Reparte la altura: cilindro $h = 10$, cono $h = 4$. Comprueba que las alturas de las partes suman la altura total: $10 + 4 = 14$.

Mistake: Usar la fórmula de la esfera entera para una cúpula o una bola de helado

Why: Una cúpula, una bola sobre un cucurucho o el extremo redondo de un silo es solo media esfera. Con $\frac{4}{3}\pi r^3$ duplicas esa parte.

Correct: Una semiesfera tiene $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$. Dos semiesferas (los dos extremos de una cápsula) forman una esfera completa.

Mistake: Restar primero los radios de una tubería: $\pi (5 - 4)^2 \times 100 = 100\pi$

Why: El volumen depende de $r^2$, así que no puedes restar los radios antes de elevarlos al cuadrado. La diferencia de los volúmenes no es el volumen de la diferencia.

Correct: Resta volúmenes completos: $\pi \times 5^2 \times 100 - \pi \times 4^2 \times 100 = \pi (25 - 16) \times 100 = 900\pi$.

Mistake: Redondear cada parte antes de sumar

Why: Los pequeños errores de redondeo de cada parte se acumulan, y el resultado final puede fallar en la última cifra.

Correct: Deja cada parte en función de $\pi$ (o conserva todos los decimales), suma o resta y redondea una sola vez al final, a la cifra que pida el enunciado.

Depósitos y cápsulas

Los depósitos de gas, agua o leche suelen ser cilindros con una semiesfera en cada extremo, porque los extremos redondeados aguantan mejor la presión que los planos. Las dos semiesferas juntas forman una esfera completa.

Una cápsula de medicamento de radio $3$ mm con un cilindro de $4$ mm en el centro tiene un volumen de $\pi \times 3^2 \times 4 + \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}08$ mm³.

Maceteros de hormigón

Los maceteros de jardín se suelen fabricar como un bloque de hormigón con un hueco para la tierra. El hormigón necesario es el volumen del bloque menos el volumen del hueco.

Un bloque de $8$ cm por $8$ cm por $5$ cm con un agujero cilíndrico de radio $1$ cm que lo atraviesa a lo alto usa $320 - \pi \times 1^2 \times 5 \approx 304{,}3$ cm³ de material.

Cohetes de modelismo

El cuerpo de un cohete de modelismo es un cilindro con una punta en forma de cono. Los diseñadores usan el volumen para planificar el espacio interior para las piezas y estimar cuánto pesará una maqueta maciza.

Un cohete de radio $4$ cm, con un cilindro de $15$ cm y una punta cónica de $6$ cm, tiene un volumen de $240\pi + 32\pi = 272\pi \approx 854{,}08$ cm³.

Q: ¿Cómo sé si tengo que sumar o restar?

A: Pregúntate de qué está hecho el cuerpo. Si dos piezas están pegadas (un cono sobre un cilindro), sumas. Si algo está recortado o vacío (un agujero, el interior de una tubería), restas la parte vacía al cuerpo más grande.

Q: No hay dibujo. ¿Cómo me imagino la forma?

A: Lee la descripción despacio y haz un dibujo rápido. Escribe cada parte con sus propios números, por ejemplo: cilindro $r = 2$, $h = 6$; semiesfera $r = 2$. Cuando tienes las partes en una lista, el problema se convierte en dos problemas pequeños.

Q: ¿Uso $\pi \approx 3{,}14$ o la tecla $\pi$?

A: Usa lo que diga el enunciado. Esta lección usa $3{,}14$. La tecla $\pi$ da un resultado un poco mayor y más exacto (por ejemplo, $102\pi$ es $320{,}28$ con $3{,}14$ y $320{,}44$ con la tecla). Si el enunciado pide dejar el resultado en función de $\pi$, escribe algo como $102\pi$.

Q: ¿Cuento la cara plana donde se tocan las dos partes?

A: Para el volumen, no. La cara donde se unen dos partes no tiene grosor, así que no añade volumen. Solo importa para el área, que es otra lección (Área de superficie de sólidos compuestos).