Un cucurucho de helado

Un cucurucho tiene un radio de 3 cm y una altura de 10 cm. Halla su volumen en función de $\pi$ y después con $\pi \approx 3{,}14$, redondeado a las décimas.

Escribe la fórmula: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ = Fórmula lista

Eleva el radio al cuadrado: $r^2 = 3^2 = 9$ = $r^2 = 9$

Multiplica por la altura y divide entre 3: $\frac{1}{3} \times 9 \times 10 = \frac{90}{3} = 30$ = $V = 30\pi$ cm³

Usa $\pi \approx 3{,}14$: $30 \times 3{,}14 = 94{,}2$ = $V \approx 94{,}2$ cm³

Answer: El cucurucho contiene exactamente $30\pi$ cm³, es decir, unos $94{,}2$ cm³ de helado (¡sin contar la bola de arriba!).

Cono frente a cilindro

Un cilindro y un cono tienen los dos un diámetro de 8 cm y una altura de 9 cm. Halla ambos volúmenes en función de $\pi$ y compáralos.

Obtén el radio a partir del diámetro: $r = 8 \div 2 = 4$ cm = $r = 4$ cm

Volumen del cilindro: $V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 9 = 144\pi$ = $144\pi$ cm³

Volumen del cono (un tercio): $V = \frac{1}{3} \times 144\pi = 48\pi$ = $48\pi$ cm³

Compara: $144\pi \div 48\pi = 3$ = El cilindro contiene 3 veces más

Answer: El cilindro contiene $144\pi$ cm³ y el cono $48\pi \approx 150{,}72$ cm³. Tres conos llenan un cilindro.

Un montón de arena

Un montón de arena forma un cono de 6 m de diámetro y 2 m de altura. ¿Cuántos metros cúbicos de arena hay en el montón? Usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea a las centésimas.

Halla el radio: $r = 6 \div 2 = 3$ m = $r = 3$ m

Sustituye en la fórmula: $V = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 3^2 \times 2$ = Valores sustituidos

Calcula primero $\frac{1}{3} r^2 h$: $\frac{9 \times 2}{3} = \frac{18}{3} = 6$ = $V = 6\pi$

Multiplica por 3,14: $6 \times 3{,}14 = 18{,}84$ = $V \approx 18{,}84$ m³

Answer: El montón contiene unos $18{,}84$ m³ de arena (exactamente $6\pi$ m³).

Usar la generatriz

Un cono tiene un radio de 6 cm y una generatriz de 10 cm. Halla su volumen en función de $\pi$ y con $\pi \approx 3{,}14$, redondeado a las centésimas.

Fíjate en que 10 cm es la generatriz, no la altura: El radio, la altura y la generatriz forman un triángulo rectángulo: $l^2 = r^2 + h^2$ = Primero necesitamos $h$

Usa el teorema de Pitágoras: $h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ = $h = \sqrt{64} = 8$ cm

Aplica la fórmula del volumen: $V = \frac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 8 = \frac{36 \times 8}{3}\pi = 96\pi$ = $V = 96\pi$ cm³

Usa $\pi \approx 3{,}14$: $96 \times 3{,}14 = 301{,}44$ = $V \approx 301{,}44$ cm³

Answer: $V = 96\pi \approx 301{,}44$ cm³. Si hubieras usado 10 cm como altura, habrías obtenido el resultado incorrecto $120\pi$ cm³.

Hallar la altura de un embudo

Un embudo con forma de cono contiene 314 cm³ cuando está lleno. Su radio es de 5 cm. ¿Qué altura tiene? Usa $\pi \approx 3{,}14$.

Escribe la fórmula con lo que sabes: $314 = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 5^2 \times h$ = Solo $h$ es desconocida

Multiplica ambos lados por 3: $942 = 3{,}14 \times 25 \times h$ = $942 = 78{,}5h$

Divide ambos lados entre 78,5: $h = 942 \div 78{,}5 = 12$ = $h = 12$ cm

Comprueba: $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 \times 12 = 3{,}14 \times 100 = 314$ = Correcto

Answer: El embudo mide $12$ cm de altura. En general, $h = \frac{3V}{\pi r^2}$.

Mistake: Olvidar el $\frac{1}{3}$ y usar $V = \pi r^2 h$

Why: Esa es la fórmula del cilindro. Un cono con la misma base y altura solo contiene un tercio, así que el resultado sale 3 veces más grande.

Correct: Escribe siempre $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ y divide entre 3. Para $r = 3$, $h = 10$: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 10 = 30\pi$, no $90\pi$.

Mistake: Usar el diámetro en lugar del radio

Why: El radio es la mitad del diámetro. Si elevas el diámetro al cuadrado, el resultado sale 4 veces más grande.

Correct: Si el problema da el diámetro, divídelo primero entre 2: un diámetro de 8 cm significa $r = 4$ cm y $r^2 = 16$, no $64$.

Mistake: Usar la generatriz como altura

Why: La generatriz va a lo largo del lado inclinado, así que siempre es más larga que la altura perpendicular. Usarla da un volumen demasiado grande.

Correct: La altura va en línea recta desde el vértice hasta el centro de la base. Si solo conoces la generatriz $l$, halla $h$ con $h^2 = l^2 - r^2$.

Mistake: Dar el resultado en unidades cuadradas, como cm²

Why: El volumen tiene tres dimensiones: $r \times r \times h$ multiplica tres longitudes.

Correct: El volumen siempre va en unidades cúbicas: cm³, m³, in³. Recuerda que $1$ cm³ $= 1$ mL.

En la heladería

Las heladerías eligen el tamaño y el precio de los cucuruchos según cuánto helado cabe en cada uno.

Un cucurucho pequeño de radio 2 cm y altura 9 cm contiene $\frac{1}{3}\pi \times 4 \times 9 = 12\pi \approx 37{,}68$ cm³.

Vasos de papel en el dispensador de agua

Muchos dispensadores de agua de oficina usan vasos de papel con forma de cono. Son baratos de fabricar y fáciles de apilar.

Un vaso cónico de papel de radio 3 cm y altura 10 cm contiene $30\pi \approx 94{,}2$ cm³, es decir, unos $94$ mL de agua.

Montones de arena y de sal para carreteras

Cuando se vierte arena, grava o sal para carreteras desde arriba, se forma un cono. Los albañiles y los servicios de carreteras usan la fórmula del cono para estimar cuánto material hay en un montón.

Un montón de arena de radio 3 m y altura 2 m contiene $6\pi \approx 18{,}84$ m³ de arena.

Q: ¿Por qué exactamente un tercio y no la mitad?

A: Un cono se va estrechando hacia arriba, así que la mayor parte de su volumen está cerca de la base. Puedes comprobarlo con agua o arroz: tres conos llenos llenan un cilindro con la misma base y altura. Más adelante, con el cálculo integral, podrás demostrar que el factor es exactamente $\frac{1}{3}$. Las pirámides siguen la misma regla del tercio.

Q: ¿Y si el cono está inclinado (un cono oblicuo)?

A: La fórmula sigue funcionando, siempre que $h$ sea la altura perpendicular desde el vértice hasta el plano de la base. Un cono oblicuo con la misma base y la misma altura perpendicular tiene el mismo volumen que uno recto.

Q: ¿Cuándo debo dejar el resultado en función de $\pi$?

A: Cuando el problema pide un resultado exacto o dice "en función de $\pi$", escríbelo como $48\pi$ cm³. Cuando necesitas un número para una situación real, multiplica por $3{,}14$ (o usa la tecla $\pi$) y redondea como pide el problema.

Q: ¿Cómo hallo la altura si solo conozco la generatriz?

A: El radio, la altura y la generatriz forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz. Por eso $h = \sqrt{l^2 - r^2}$. Para $r = 5$ y $l = 13$: $h = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.