Comprobar el 3 y el 9 con la suma de las cifras

¿Es $516$ divisible por $3$? ¿Es divisible por $9$?

Suma todas las cifras: $5 + 1 + 6 = 12$ = Suma de las cifras: $12$

Comprueba la suma con el 3: $12 \div 3 = 4$, sin resto = $516$ es divisible por $3$: $516 \div 3 = 172$

Comprueba la suma con el 9: $12 \div 9 = 1$ resto $3$ = $516$ no es divisible por $9$

Answer: $516$ es divisible por $3$ ($516 \div 3 = 172$) pero no por $9$, porque la suma de sus cifras $12$ es múltiplo de $3$ pero no de $9$.

Un número grande: suma de las cifras repetida

¿Es $987.654$ divisible por $3$? ¿Es divisible por $9$?

Suma las seis cifras: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39$ = Primera suma: $39$

La suma todavía es grande, así que suma sus cifras: $3 + 9 = 12$ = Segunda suma: $12$

Suma una vez más hasta tener una cifra: $1 + 2 = 3$ = Cifra final: $3$

Lee el resultado: $3$ es divisible por $3$ pero no es $9$ = Divisible por $3$, no por $9$

Answer: $987.654$ es divisible por $3$ ($987.654 \div 3 = 329.218$) pero no por $9$.

Por qué funciona la regla

Demuestra por qué $4527$ es divisible por $9$ justo cuando $4 + 5 + 2 + 7$ lo es.

Escribe el número con su valor posicional: $4527 = 4 \times 1000 + 5 \times 100 + 2 \times 10 + 7$ = Millares, centenas, decenas, unidades

Separa cada valor posicional en nueves más 1: $1000 = 999 + 1, \; 100 = 99 + 1, \; 10 = 9 + 1$ = $4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)$

Mira la primera parte: $4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 = 3996 + 495 + 18 = 4509$ = $4509 = 9 \times 501$, siempre un múltiplo de $9$

Solo queda comprobar la suma de las cifras: $4527 = 4509 + 18$ y $18 = 9 \times 2$ = $4527 = 9 \times 503$

Answer: Las partes con $999$, $99$ y $9$ son siempre múltiplos de $9$ (y de $3$), así que solo decide la suma de las cifras. Como $18$ es divisible por $9$, también lo es $4527$.

Encontrar una cifra que falta

¿Qué cifras pueden ir en la casilla para que $52\square4$ sea divisible por $3$? ¿Cuál lo hace divisible por $9$?

Suma las cifras que conoces: $5 + 2 + 4 = 11$ = Suma conocida: $11$

Busca los múltiplos de 3 que puedes alcanzar con una cifra (0 a 9): $11 + \square$ puede ser $12$, $15$ o $18$ = $\square = 1$, $4$ o $7$

Ahora busca un múltiplo de 9: Entre $11$ y $20$ el único múltiplo de $9$ es $18$ = $\square = 7$

Compruébalo con una división: $5274 \div 9 = 586$ = Sin resto

Answer: Para el $3$ la casilla puede ser $1$, $4$ o $7$ ($5214$, $5244$, $5274$). Solo el $7$ lo hace también divisible por $9$: $5274 = 9 \times 586$.

Prueba del nueve: comprobar una suma

Mía sumó $2345 + 1678$ y obtuvo $4023$. Usa sumas de las cifras para comprobar su resultado.

Reduce el primer número a una cifra: $2 + 3 + 4 + 5 = 14 \rightarrow 1 + 4 = 5$ = $2345$ deja resto $5$ al dividir entre $9$

Reduce el segundo número: $1 + 6 + 7 + 8 = 22 \rightarrow 2 + 2 = 4$ = $1678$ deja resto $4$

Suma los dos restos: $5 + 4 = 9$, y el $9$ cuenta como resto $0$ = La suma debería dejar resto $0$

Reduce el resultado de Mía: $4 + 0 + 2 + 3 = 9$, resto $0$ = Los dos lados coinciden

Answer: Las dos comprobaciones dan resto $0$, así que el resultado $4023$ pasa la prueba. Si hubiera escrito $4013$, la prueba daría $8$ y mostraría enseguida que algo está mal.

Mistake: Mirar la última cifra, como con el 2, el 5 y el 10

Why: La última cifra no dice nada sobre el 3 ni el 9. $23$ termina en $3$ pero no es divisible por $3$, mientras que $27$ termina en $7$ y es divisible por $3$ y por $9$.

Correct: Suma siempre todas las cifras: $2 + 7 = 9$, así que $27$ es divisible por $3$ y por $9$.

Mistake: Creer que todo número divisible por 3 también es divisible por 9

Why: La regla del $9$ es más exigente. Una suma de las cifras de $12$ o $15$ es múltiplo de $3$ pero no de $9$.

Correct: $516$ (suma $12$) es divisible por $3$ pero no por $9$. Al revés siempre funciona: todo múltiplo de $9$ es múltiplo de $3$.

Mistake: Pararse en la primera cifra que funciona en un acertijo de cifra que falta

Why: Para el $3$ suelen servir tres o cuatro cifras, porque los múltiplos de $3$ están separados solo por $3$.

Correct: Para $52\square4$ y el $3$, prueba $12$, $15$ y $18$: la casilla puede ser $1$, $4$ o $7$.

Mistake: Creer que si la prueba del nueve coincide, el resultado es seguro

Why: La prueba del nueve solo detecta algunos errores. Cambiar el orden de dos cifras no cambia la suma de las cifras, así que $4032$ pasa la misma prueba que $4023$.

Correct: Si la prueba no coincide, seguro que el resultado está mal. Si coincide, probablemente está bien, pero no con seguridad.

Formar equipos iguales

Entrenadores y profesores a menudo tienen que dividir un grupo en equipos iguales. La suma de las cifras les dice al momento si se puede.

¿Pueden salir $135$ corredores en $9$ grupos iguales? $1 + 3 + 5 = 9$, así que sí: $135 \div 9 = 15$ corredores por grupo.

Comprobar una factura

Antes de las calculadoras, los comerciantes y los contables comprobaban las sumas largas con sumas de las cifras. Todavía es una forma rápida de pillar un despiste en tus propias cuentas.

$1236 + 2458 = 3694$: los restos son $3$ y $1$, que suman $4$, y $3694$ también da $3 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4$. La prueba sale bien.

Descifrar un código

Los libros de acertijos y las salas de escape adoran los códigos con una cifra que falta. Una pista de divisibilidad suele dar la respuesta en un paso.

Un código $7\square2$ es divisible por $9$: $7 + 2 = 9$, así que la casilla debe ser $0$ o $9$ ($702$ o $792$).

Q: ¿Importa el orden de las cifras?

A: No. $4527$, $7254$ y $2745$ tienen todos la misma suma de las cifras, $18$, así que los tres son divisibles por $9$. Cambiar las cifras de sitio nunca cambia la suma de las cifras.

Q: ¿Y la cifra 0?

A: Un $0$ no añade nada a la suma de las cifras, así que puedes saltártelo. $3051$ y $351$ tienen la misma suma de las cifras $9$, y los dos son divisibles por $9$.

Q: ¿Por qué este truco no funciona con el 7?

A: Funciona con el $3$ y el $9$ porque $10$ es exactamente $1$ más que un múltiplo de $9$. Con el $7$ no pasa ($10 = 7 + 3$), así que los valores posicionales no desaparecen. El $7$ necesita otra prueba.

Q: ¿Cómo saco el resto a partir de la suma de las cifras?

A: Reduce el número a una sola cifra. Para el $9$, esa cifra es el resto, salvo que $9$ significa resto $0$. Por ejemplo $7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4$, y en efecto $7654 = 9 \times 850 + 4$.