Divisibilidad por 4 con las dos últimas cifras

¿Es $7316$ divisible por $4$?

Separa las dos últimas cifras: $7316 = 73 \times 100 + 16$ = Dos últimas cifras: $16$

Recuerda por qué las centenas no importan: $100 = 4 \times 25$, así que $7300$ es múltiplo de $4$ = Solo decide $16$

Comprueba las dos últimas cifras: $16 = 4 \times 4$ = $16$ es divisible por $4$

Concluye y comprueba: $7316 \div 4 = 1829$ = Divisible, resto $0$

Answer: Sí. Las dos últimas cifras forman 16, que es divisible por 4, así que 7316 es divisible por 4 (7316 ÷ 4 = 1829).

El truco de la cifra de las decenas

¿Cuáles de $3572$, $6134$ y $9048$ son divisibles por $4$?

Comprueba $3572$: la cifra de las decenas $7$ es impar: Decenas impares: la última cifra tiene que ser $2$ o $6$. Es $2$ = $72 = 4 \times 18$, divisible

Comprueba $6134$: la cifra de las decenas $3$ es impar: Decenas impares: la última cifra tiene que ser $2$ o $6$. Es $4$ = $34 = 4 \times 8 + 2$, no divisible

Comprueba $9048$: la cifra de las decenas $4$ es par: Decenas pares: la última cifra tiene que ser $0$, $4$ u $8$. Es $8$ = $48 = 4 \times 12$, divisible

Answer: 3572 y 9048 son divisibles por 4. 6134 no lo es: deja resto 2.

Divisibilidad por 8 con las tres últimas cifras

¿Es $45.136$ divisible por $8$?

Separa las tres últimas cifras: $45.136 = 45 \times 1000 + 136$, y $1000 = 8 \times 125$ = Solo decide $136$

Divide $136$ entre $8$ hallando la mitad tres veces: $136 \to 68 \to 34 \to 17$ = Tres mitades exactas: $136 = 8 \times 17$

Concluye y comprueba: $45.136 \div 8 = 5642$ = Divisible, resto $0$

Answer: Sí. Las tres últimas cifras forman 136 = 8 × 17, así que 45.136 es divisible por 8 (45.136 ÷ 8 = 5642).

Divisibilidad por 6: dos pruebas, las dos deben cumplirse

¿Cuál de $5742$ y $3754$ es divisible por $6$?

Comprueba $5742$ con el $2$: La última cifra $2$ es par = Divisible por $2$

Comprueba $5742$ con el $3$: $5 + 7 + 4 + 2 = 18$, y $18 = 3 \times 6$ = Divisible por $3$, luego por $6$: $5742 \div 6 = 957$

Comprueba $3754$ con el $2$: La última cifra $4$ es par = Divisible por $2$

Comprueba $3754$ con el $3$: $3 + 7 + 5 + 4 = 19$, y $19 = 3 \times 6 + 1$ = No es divisible por $3$, luego tampoco por $6$

Answer: 5742 es divisible por 6. 3754 es par pero no pasa la prueba del 3, así que no es divisible por 6.

Años bisiestos

Un año es bisiesto si es divisible por $4$, salvo los años que cierran siglo (terminados en $00$), que tienen que ser divisibles por $400$. ¿Cuáles de $2024$, $1900$, $2000$ y $2100$ son bisiestos?

Comprueba $2024$: No cierra siglo. Dos últimas cifras $24 = 4 \times 6$ = Bisiesto

Comprueba $1900$: Cierra siglo: $1900 \div 400 = 4{,}75$ = No es bisiesto

Comprueba $2000$: Cierra siglo: $2000 \div 400 = 5$ = Bisiesto

Comprueba $2100$: Cierra siglo: $2100 \div 400 = 5{,}25$ = No es bisiesto

Answer: 2024 y 2000 son bisiestos. 1900 y 2100 son divisibles por 4, pero cierran siglo y no son divisibles por 400, así que no son bisiestos.

Mistake: Mirar solo la última cifra para el $4$: "$2134$ termina en $4$, así que es divisible por $4$"

Why: El criterio del $4$ lee las **dos** últimas cifras, porque $10$ no es múltiplo de $4$. Aquí $34 = 4 \times 8 + 2$.

Correct: Comprueba las dos últimas cifras: $34$ deja resto $2$, así que $2134$ no es divisible por $4$.

Mistake: Mirar solo las dos últimas cifras para el $8$: "$3124$ termina en $24 = 8 \times 3$, así que es divisible por $8$"

Why: $100$ no es múltiplo de $8$ ($100 = 8 \times 12 + 4$), así que la cifra de las centenas todavía cuenta. El criterio del $8$ necesita las **tres** últimas cifras.

Correct: Comprueba $124$: $124 = 8 \times 15 + 4$. Así que $3124$ no es divisible por $8$ (resto $4$).

Mistake: Creer que divisible por $2$ y por $4$ significa divisible por $8$

Why: $12$ es divisible por $2$ y por $4$, pero $12 \div 8 = 1{,}5$. Combinar criterios solo funciona si los dos números son primos entre sí, como $2$ y $3$ para el $6$. $2$ y $4$ tienen el factor común $2$.

Correct: Para el $8$ usa su propio criterio (tres últimas cifras). Para el $6$ sí puedes combinar el $2$ y el $3$.

Mistake: Comprobar solo una parte del criterio del $6$: "$27$ es divisible por $3$, así que es divisible por $6$"

Why: El $6$ necesita **las dos** pruebas. $27$ es impar, así que no pasa la prueba del $2$. Igualmente, $26$ es par, pero la suma de sus cifras, $8$, no pasa la prueba del $3$.

Correct: Un número es divisible por $6$ solo si es par **y** la suma de sus cifras es divisible por $3$, por ejemplo $5742$.

Años bisiestos en un siglo

El calendario añade un día (el 29 de febrero) en cada año divisible por 4, pero se salta los años que cierran siglo y no son divisibles por 400.

$2024$ es bisiesto ($24 = 4 \times 6$), $2000$ lo fue ($2000 = 400 \times 5$), pero $1900$ no ($1900 \div 400 = 4{,}75$).

Envasar de seis en seis

Panaderías, granjas de huevos y fabricantes de bebidas envasan de 6 en 6. Los criterios del 2 y del 3 les dicen antes de contar si no sobrará nada.

$4320$ huevos llenan cajas de $6$ sin que sobre ninguno: $4320$ es par y $4 + 3 + 2 + 0 = 9$ es divisible por $3$, así que $4320 \div 6 = 720$ cajas.

Cajas de ocho

Las botellas y las latas suelen viajar en cajas de 8. En un pedido grande, solo las tres últimas cifras deciden si las cajas salen exactas.

$1560$ lápices caben en cajas de $8$: las tres últimas cifras $560 = 8 \times 70$, así que $1560 \div 8 = 195$ cajas.

Q: ¿Por qué las dos últimas cifras deciden la divisibilidad por 4?

A: Todo número entero es un número de centenas más sus dos últimas cifras: $7316 = 73 \times 100 + 16$. Como $100 = 4 \times 25$, cualquier número entero de centenas es divisible por $4$. Por eso el resto del número al dividir entre $4$ es el mismo que el de sus dos últimas cifras. La misma idea con $1000 = 8 \times 125$ da el criterio del $8$.

Q: Si un número es divisible por 4, ¿también es divisible por 8?

A: No siempre. $12$, $20$ y $28$ son divisibles por $4$ pero no por $8$. La cadena solo baja: todo múltiplo de $8$ es múltiplo de $4$ (porque $8 = 4 \times 2$), y todo múltiplo de $4$ es par.

Q: ¿Puedo construir otros criterios como 6 = 2 y 3?

A: Sí, pero solo con números primos entre sí (sin divisor común aparte del $1$). $6 = 2 \times 3$ funciona porque $2$ y $3$ son primos entre sí. $8 = 2 \times 4$ no funciona, porque $2$ y $4$ comparten el divisor $2$: $12$ pasa las dos pruebas y aun así no es divisible por $8$. La lección Criterios de divisibilidad combinados lo muestra para $12$, $15$, $18$ y $36$.

Q: ¿Por qué los años que cierran siglo tienen que ser divisibles por 400 para ser bisiestos?

A: Un año dura unos $365{,}2422$ días. Un día extra cada $4$ años da una media de $365{,}25$ días, un poco de más. Si se quitan $3$ días extra cada $400$ años ($1700$, $1800$, $1900$, pero no $2000$), quedan $97$ años bisiestos en $400$ años: $365 + \frac{97}{400} = 365{,}2425$ días, muy cerca del valor real.