Identificar el centro y el radio

Encuentra el centro y el radio del círculo: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Comparar con la forma estándar: Forma estándar: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ = Hacer coincidir el patrón

Identificar h (coordenada x del centro): $(x - 3)^2$ significa $h = 3$ = $h = 3$

Identificar k (coordenada y del centro): $(y + 2)^2 = (y - (-2))^2$ significa $k = -2$ = $k = -2$

Encontrar el radio: $r^2 = 25$, entonces $r = \sqrt{25} = 5$ = $r = 5$

Answer: Centro: $(3, -2)$, Radio: $5$

Escribir una ecuación a partir del centro y el radio

Escribe la ecuación de un círculo con centro $(-4, 1)$ y radio $6$.

Identificar los valores: $h = -4$, $k = 1$, $r = 6$ = Valores identificados

Sustituir en la forma estándar: $(x - (-4))^2 + (y - 1)^2 = 6^2$ = Sustituir valores

Simplificar: $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 36$ = Ecuación final

Answer: $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 36$

Círculo que pasa por un punto

Escribe la ecuación de un círculo con centro $(2, -1)$ que pasa por el punto $(5, 3)$.

Encontrar el radio usando la fórmula de distancia: $r = \sqrt{(5-2)^2 + (3-(-1))^2}$ = $r = \sqrt{9 + 16}$

Calcular el radio: $r = \sqrt{25} = 5$ = $r = 5$

Escribir la ecuación: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$ = Ecuación en forma estándar

Answer: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$

Mistake: Confundir los signos en $(y + 2)^2$

Why: La forma estándar usa resta: $(y - k)^2$. Si ves $(y + 2)^2$, esto es igual a $(y - (-2))^2$, por lo que $k = -2$, no $+2$.

Correct: Siempre reescribe como resta: $(y + 2)^2 = (y - (-2))^2$, por lo tanto $k = -2$.

Mistake: Usar $r^2$ como el radio en lugar de $r$

Why: La ecuación da $r^2$, no $r$. Debes sacar la raíz cuadrada.

Correct: Si la ecuación muestra $= 49$, entonces $r^2 = 49$ y $r = 7$ (no 49).

Mistake: Olvidar elevar al cuadrado el radio al escribir ecuaciones

Why: Cuando se da el radio $r = 4$, los estudiantes escriben $= 4$ en lugar de $= 16$.

Correct: Siempre eleva al cuadrado el radio: si $r = 4$, escribe $r^2 = 16$ en la ecuación.

Triangulación GPS

Las torres de telefonía y los satélites GPS usan círculos para localizar tu posición. Cada torre conoce su distancia a tu teléfono, creando un círculo de ubicaciones posibles.

Una torre de telefonía en la posición $(2, 3)$ km detecta tu teléfono a $5$ km de distancia. Tus ubicaciones posibles forman el círculo $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Pistas de carreras circulares

Los arquitectos diseñan pistas circulares usando ecuaciones de círculos para asegurar las dimensiones correctas.

Una pista de atletismo tiene un borde interior con centro en el origen y radio $30$ metros: $x^2 + y^2 = 900$. El borde exterior tiene radio $35$ metros: $x^2 + y^2 = 1225$.

Q: ¿Por qué hay un signo menos en $(x - h)$?

A: La forma estándar usa resta porque está basada en la fórmula de distancia. La expresión $(x - h)^2 + (y - k)^2$ calcula el cuadrado de la distancia desde cualquier punto $(x, y)$ hasta el centro $(h, k)$.

Q: ¿Puede el radio ser negativo?

A: No. El radio siempre es positivo porque representa una distancia. Si $r^2 = 25$, entonces $r = 5$ (tomamos la raíz cuadrada positiva).

Q: ¿Qué pasa si la ecuación no se parece a la forma estándar?

A: Algunas ecuaciones necesitan ser reescritas. Por ejemplo, $x^2 + y^2 - 6x + 4y = 12$ puede convertirse a forma estándar completando el cuadrado. Esto se cubre en la lección 'Convertir a forma estándar'.