Una ecuación directa con la misma base

Resuelve $2^x = 32$.

Escribe 32 como potencia de 2: $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$ = $2^x = 2^5$

Iguala los exponentes: Misma base $2$, así que los exponentes deben coincidir = $x = 5$

Comprueba: $2^5 = 32$ ✓ = La solución es correcta

Answer: $x = 5$

Una expresión en el exponente

Resuelve $3^{x+1} = 81$.

Escribe 81 como potencia de 3: $81 = 3^4$ = $3^{x+1} = 3^4$

Iguala los exponentes: $x + 1 = 4$ = Una ecuación lineal

Despeja $x$: $x = 4 - 1$ = $x = 3$

Comprueba: $3^{3+1} = 3^4 = 81$ ✓ = La solución es correcta

Answer: $x = 3$

Reescribir ambos miembros

Resuelve $4^x = 8$.

Busca una base común: $4 = 2^2$ y $8 = 2^3$, así que los dos son potencias de $2$ = Base común: $2$

Reescribe el miembro izquierdo: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ = $2^{2x} = 2^3$

Iguala los exponentes: $2x = 3$ = $x = \frac{3}{2}$

Comprueba: $4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ ✓ = La solución es correcta

Answer: $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Una fracción en el miembro derecho

Resuelve $9^x = \frac{1}{27}$.

Reescribe el miembro izquierdo con base 3: $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ = $3^{2x}$

Escribe la fracción con un exponente negativo: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$ = $3^{2x} = 3^{-3}$

Iguala los exponentes: $2x = -3$ = $x = -\frac{3}{2}$

Comprueba: $9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = \frac{1}{27}$ ✓ = La solución es correcta

Answer: $x = -\frac{3}{2} = -1{,}5$

Estimar una solución con una tabla

Resuelve $5 \cdot 2^x = 100$. Si la solución no es un número entero, indica los dos enteros consecutivos entre los que se encuentra.

Aísla la potencia: Divide ambos miembros entre $5$: $2^x = \frac{100}{5}$ = $2^x = 20$

Intenta encontrar una base común: $20 = 2^2 \cdot 5$ no es una potencia de $2$ = El método de igualar bases no funciona

Haz una tabla de potencias de 2: $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$ = $16 < 20 < 32$

Sitúa la solución: $2^4 < 2^x < 2^5$, y un exponente mayor siempre da una potencia de $2$ mayor = $4 < x < 5$

Afina con la calculadora: $2^{4{,}3} \approx 19{,}7$ y $2^{4{,}4} \approx 21{,}1$ = $x \approx 4{,}3$

Answer: $x$ está entre $4$ y $5$ (aproximadamente $4{,}32$). Los logaritmos, un tema posterior, dan el valor exacto.

Mistake: Dividir entre la base: $2^x = 32 \implies x = \frac{32}{2} = 16$

Why: $2^x$ significa multiplicar $2$ por sí mismo $x$ veces, no $2$ por $x$. Dividir deshace una multiplicación, no una potencia.

Correct: Escribe $32$ como potencia de $2$: $32 = 2^5$, así que $x = 5$. Comprobación: $2^{16} = 65536 \neq 32$.

Mistake: Meter el factor en la base: $3 \cdot 2^x = 48 \implies 6^x = 48$

Why: El exponente solo afecta al $2$. Según la jerarquía de operaciones, primero se calcula la potencia y después se multiplica por $3$.

Correct: Divide primero: $2^x = 16 = 2^4$, así que $x = 4$. Comprobación: $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ ✓

Mistake: Igualar exponentes cuando las bases son distintas: $4^x = 2^3 \implies x = 3$

Why: La regla de la misma base solo funciona si las bases son realmente iguales. $4^3 = 64$, no $8$.

Correct: Primero reescribe $4^x = 2^{2x}$, luego $2x = 3$, así que $x = \frac{3}{2}$.

Mistake: Perder el signo menos: $9^x = \frac{1}{27} \implies x = \frac{3}{2}$

Why: Un número menor que $1$ necesita un exponente negativo cuando la base es mayor que $1$: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$.

Correct: $3^{2x} = 3^{-3}$, así que $x = -\frac{3}{2}$. Prueba rápida: $9^{\frac{3}{2}} = 27$, que es mucho mayor que $\frac{1}{27}$.

Colonias de bacterias

Una colonia que se duplica cada hora sigue $N = N_0 \cdot 2^t$. Al despejar $t$, un laboratorio sabe cuándo la colonia alcanzará un tamaño objetivo.

Una colonia de 100 células se duplica cada hora. Llega a 800 células cuando $100 \cdot 2^t = 800$, es decir, $2^t = 8 = 2^3$ y $t = 3$ horas.

Doblar papel

Cada doblez duplica el grosor de una hoja de papel, así que el grosor tras $n$ dobleces es $T = T_0 \cdot 2^n$.

Una hoja de 0,1 mm de grosor mide 0,8 mm tras 3 dobleces, porque $0{,}1 \cdot 2^3 = 0{,}8$.

Vídeos virales

Las visualizaciones que se duplican cada día crecen como $V = V_0 \cdot 2^d$. Cuando el objetivo no es una potencia de 2, una tabla de potencias muestra el día en que se supera.

Un vídeo con 1000 visualizaciones que se duplican cada día tiene $1000 \cdot 2^5 = 32000$ visualizaciones a los 5 días y $1000 \cdot 2^6 = 64000$ a los 6 días.

Q: ¿Qué hago si no puedo escribir ambos miembros con la misma base?

A: Entonces el método de igualar bases no sirve. Aun así puedes estimar: haz una tabla de potencias y mira dónde encaja el miembro derecho, por ejemplo $2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5$, así que la solución de $2^x = 20$ está entre $4$ y $5$. Los logaritmos, que verás más adelante en el curso, dan la respuesta exacta.

Q: ¿Por qué la base no puede ser 1?

A: Porque $1^x = 1$ para cualquier $x$. La ecuación $1^x = 1^5$ es cierta para todos los valores de $x$, así que no puedes concluir que $x = 5$. Con cualquier otra base positiva, exponentes distintos siempre dan resultados distintos.

Q: ¿Puede una ecuación exponencial no tener solución?

A: Sí. Una potencia de base positiva siempre es positiva, así que $2^x = -4$ y $2^x = 0$ no tienen solución. Antes de empezar, comprueba que la potencia aislada es igual a un número positivo.

Q: ¿Puede haber dos soluciones?

A: Sí, cuando el exponente contiene $x^2$. Por ejemplo, $2^{x^2} = 2^4$ da $x^2 = 4$, así que $x = 2$ o $x = -2$. Comprueba las dos en la ecuación original.