Identificar funciones exponenciales

Determina cuál función es exponencial: $f(x) = 3x^2$, $g(x) = 2^x$, $h(x) = x^3$

Verifica $f(x) = 3x^2$: La variable $x$ está en la base, elevada a la potencia 2 = Cuadrática (polinomio), no exponencial

Verifica $g(x) = 2^x$: La variable $x$ está en el exponente, la base es constante 2 = Esto ES exponencial: $a = 1$, $b = 2$

Verifica $h(x) = x^3$: La variable $x$ está en la base, elevada a la potencia 3 = Cúbica (polinomio), no exponencial

Answer: $g(x) = 2^x$ es la función exponencial porque la variable está en el exponente.

Graficar una función de crecimiento exponencial

Grafica $f(x) = 2^x$ creando una tabla de valores.

Calcula $f(-2)$: $f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ = Punto: $(-2; 0{,}25)$

Calcula $f(-1)$: $f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ = Punto: $(-1; 0{,}5)$

Calcula $f(0)$: $f(0) = 2^0 = 1$ = Punto: $(0; 1)$ — la intersección con el eje y

Calcula $f(1)$: $f(1) = 2^1 = 2$ = Punto: $(1; 2)$

Calcula $f(2)$: $f(2) = 2^2 = 4$ = Punto: $(2; 4)$

Calcula $f(3)$: $f(3) = 2^3 = 8$ = Punto: $(3; 8)$

Describe el gráfico: Cuando $x$ aumenta, $y$ se duplica. Cuando $x$ disminuye, $y$ se acerca a 0 pero nunca lo alcanza. = Curva de crecimiento exponencial

Answer: El gráfico pasa por $(0;1)$, sube rápidamente hacia la derecha y se acerca al eje x (asíntota) hacia la izquierda.

Función de decaimiento exponencial

Una sustancia radiactiva decae según $A(t) = 100 \cdot (0{,}5)^t$, donde $t$ es el tiempo en horas. Encuentra la cantidad restante después de 3 horas.

Identifica los componentes: Cantidad inicial $a = 100$, factor de decaimiento $b = 0{,}5$, tiempo $t = 3$ = Esto es decaimiento exponencial ya que $0 < b < 1$

Sustituye $t = 3$: $A(3) = 100 \cdot (0{,}5)^3$ = $A(3) = 100 \cdot (0{,}5)^3$

Calcula $(0{,}5)^3$: $(0{,}5)^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125$ = $(0{,}5)^3 = 0{,}125$

Multiplica por 100: $A(3) = 100 \cdot 0{,}125 = 12{,}5$ = Quedan 12,5 gramos

Answer: Después de 3 horas, quedan 12,5 gramos de la sustancia. Cada hora, la mitad de la sustancia decae.

Interés compuesto

Inviertes 1000 dólares al 5% de interés anual compuesto. Escribe la función y encuentra el valor después de 10 años.

Escribe la fórmula de interés compuesto: $A(t) = P(1 + r)^t$ donde $P$ = capital, $r$ = tasa, $t$ = años = Modelo de crecimiento exponencial

Identifica los valores: $P = 1000$, $r = 0{,}05$, entonces $b = 1 + 0{,}05 = 1{,}05$ = $A(t) = 1000 \cdot (1{,}05)^t$

Calcula para $t = 10$: $A(10) = 1000 \cdot (1{,}05)^{10}$ = Necesitamos calcular $(1{,}05)^{10}$

Evalúa $(1{,}05)^{10}$: $(1{,}05)^{10} \approx 1{,}6289$ = Multiplicador de crecimiento después de 10 años

Cálculo final: $A(10) = 1000 \cdot 1{,}6289 \approx 1628{,}89$ = Aproximadamente 1628,89 dólares

Answer: Después de 10 años, la inversión crece a aproximadamente 1628,89 dólares — una ganancia de unos 629 dólares solo por intereses.

Mistake: Confundir $2^x$ con $x^2$

Why: En $2^x$, la variable es el exponente (exponencial). En $x^2$, la variable es la base (polinomio).

Correct: Mira DÓNDE está la variable: exponente = función exponencial, base = función polinomial.

Mistake: Pensar que el gráfico puede cruzar o tocar el eje x

Why: Como $b^x > 0$ para todo $x$ real (cuando $b > 0$), y $a \cdot b^x$ preserva esto (para $a > 0$), la función nunca es cero.

Correct: El eje x es una asíntota horizontal. El gráfico se acerca infinitamente pero nunca lo alcanza.

Mistake: Olvidar que $b^0 = 1$, no 0

Why: Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es igual a 1. Por eso las funciones exponenciales pasan por $(0, a)$.

Correct: $f(0) = a \cdot b^0 = a \cdot 1 = a$. La intersección con el eje y siempre es $a$.

Mistake: Usar una base negativa

Why: Las bases negativas causan problemas: $(-2)^{0{,}5}$ no es un número real. Nos limitamos a $b > 0$.

Correct: La base $b$ debe ser positiva. Para decaimiento, usa $0 < b < 1$, no números negativos.

Interés compuesto en la banca

Los bancos usan funciones exponenciales para calcular cómo crecen tus ahorros con el interés compuesto.

Con 5% de interés anual compuesto, 1000 euros se convierten en $1000 \cdot (1{,}05)^{20} \approx 2653$ euros después de 20 años.

Crecimiento poblacional

Los biólogos modelan el crecimiento poblacional con funciones exponenciales cuando los recursos son ilimitados.

Una colonia de bacterias que se duplica cada hora sigue $P(t) = P_0 \cdot 2^t$. Comenzando con 100 bacterias, después de 8 horas hay $100 \cdot 2^8 = 25.600$ bacterias.

Decaimiento radiactivo en medicina

Las imágenes médicas usan trazadores radiactivos que decaen exponencialmente, permitiendo a los médicos rastrear su movimiento a través del cuerpo.

El tecnecio-99m tiene una vida media de 6 horas. Si comienzas con 100 mg, después de 18 horas (3 vidas medias) quedan $100 \cdot (0{,}5)^3 = 12{,}5$ mg.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre funciones exponenciales y polinomiales?

A: En funciones exponenciales como $2^x$, la variable está en el exponente. En funciones polinomiales como $x^2$, la variable está en la base. Esto hace que las funciones exponenciales crezcan mucho más rápido para $x$ grandes.

Q: ¿Por qué la base debe ser positiva?

A: Las bases negativas causan problemas con exponentes no enteros. Por ejemplo, $(-4)^{0{,}5} = \sqrt{-4}$ no es un número real. Nos limitamos a $b > 0$ para mantener los resultados reales.

Q: ¿Qué relación tiene el número $e \approx 2{,}718$ con las funciones exponenciales?

A: La constante $e$ es la base de la función exponencial natural $f(x) = e^x$. Aparece naturalmente en cálculo y se usa en modelos de crecimiento continuo como el interés compuesto continuo.

Q: ¿Puede el decaimiento exponencial llegar a cero?

A: Matemáticamente, no. La función se acerca a cero pero nunca lo alcanza (comportamiento asintótico). En la práctica, podemos considerar la cantidad como despreciable después de muchas vidas medias.