Evaluar un límite simple

Encuentra $\lim_{x \to 3} (2x + 1)$

Verifica si la sustitución directa funciona: La función $f(x) = 2x + 1$ está definida en $x = 3$ = La sustitución directa es válida

Sustituye el valor: $f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1$ = $= 7$

Escribe la respuesta en notación de límite: $\lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7$ = El límite es $7$

Answer: $\lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7$

Límite con un hueco (factorización)

Encuentra $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Intenta la sustitución directa: $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}$ = Forma indeterminada — se necesita otro enfoque

Factoriza el numerador: $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$ = Diferencia de cuadrados

Simplifica la fracción: $\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x + 2$ (para $x \neq 2$) = Cancela el factor común

Ahora sustituye: $\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2$ = $= 4$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$

Límites laterales

Encuentra $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}$ y $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}$

Comprende la notación lateral: $x \to 0^+$ significa aproximarse desde la derecha (lado positivo) $x \to 0^-$ significa aproximarse desde la izquierda (lado negativo) = Dos límites separados a evaluar

Evalúa desde la derecha: Cuando $x \to 0^+$: $x$ es pequeño y positivo, entonces $\frac{1}{x}$ es grande y positivo = $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

Evalúa desde la izquierda: Cuando $x \to 0^-$: $x$ es pequeño y negativo, entonces $\frac{1}{x}$ es grande y negativo = $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$

Concluye sobre el límite bilateral: Como los límites izquierdo y derecho difieren, el límite bilateral no existe = $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ no existe

Answer: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$, el límite bilateral no existe

Límite en el infinito

Encuentra $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{x^2 - 1}$

Identifica los términos dominantes: Tanto el numerador como el denominador tienen grado 2 = Compara los coeficientes principales

Divide por la potencia más alta: $\frac{3x^2 + 2}{x^2 - 1} = \frac{3 + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}}$ = Divide todos los términos por $x^2$

Toma el límite: Cuando $x \to \infty$: $\frac{2}{x^2} \to 0$ y $\frac{1}{x^2} \to 0$ = $\frac{3 + 0}{1 - 0} = 3$

Enuncia el resultado: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{x^2 - 1} = 3$ = Asíntota horizontal en $y = 3$

Answer: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{x^2 - 1} = 3$

Mistake: Confundir $f(a)$ con $\lim_{x \to a} f(x)$

Why: El valor de una función EN un punto puede diferir de (o no existir mientras) el límite EXISTE. Los límites describen el comportamiento de aproximación, no el valor real.

Correct: Siempre piensa: '¿A qué se acerca $f(x)$?' no '¿Cuál es $f(a)$?'

Mistake: Pensar que 'límite igual a infinito' significa que existe

Why: Cuando escribimos $\lim = \infty$, describimos crecimiento no acotado. Técnicamente, el límite 'no existe' como número finito, pero usamos la notación de infinito para describir el comportamiento.

Correct: Distingue entre: no existe, $= L$ (existe, igual a $L$), $= \infty$ (no acotado)

Mistake: Olvidar verificar ambos lados para la existencia

Why: Un límite bilateral existe solo si ambos límites laterales existen Y son iguales.

Correct: $\lim_{x \to a} f(x) = L$ requiere $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

Mistake: Simplificar $\frac{0}{0}$ incorrectamente

Why: $\frac{0}{0}$ es indeterminado, no igual a 1 o 0. Señala que se necesita manipulación algebraica.

Correct: Cuando obtienes $\frac{0}{0}$, factoriza, racionaliza o usa otras técnicas para simplificar primero.

Velocidad instantánea

Cuando miras tu velocímetro, ves tu velocidad instantánea — no tu velocidad promedio. Esta se calcula usando límites.

Si tu posición es $s(t) = t^2$ metros en el tiempo $t$ segundos, tu velocidad instantánea en $t = 3$ es $\lim_{h \to 0} \frac{s(3+h) - s(3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = 6$ m/s

Modelos de crecimiento poblacional

Los biólogos usan límites para modelar la capacidad de carga — la población máxima que un ambiente puede sostener.

El modelo logístico $P(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}}$ muestra que $\lim_{t \to \infty} P(t) = K$, la capacidad de carga.

Interés compuesto y $e$

El número $e \approx 2,718$ proviene de un límite que involucra interés compuesto calculado infinitas veces.

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ representa la capitalización continua.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre un límite y el valor de la función?

A: El valor de la función $f(a)$ es la salida cuando sustituyes $a$. El límite $\lim_{x \to a} f(x)$ describe hacia qué tienden las salidas cuando las entradas se acercan a $a$. ¡Estos pueden ser diferentes! Por ejemplo, una función puede tener un hueco en $x = 2$ (entonces $f(2)$ no está definido) pero aún tener un límite allí.

Q: ¿Qué significa 'no existe' para un límite?

A: Un límite no existe cuando no hay un valor único al que $f(x)$ se aproxime. Esto sucede cuando: (1) los límites izquierdo y derecho son diferentes, (2) la función oscila erráticamente, o (3) decimos '$= \infty$' para indicar crecimiento no acotado (técnicamente no existe como valor finito).

Q: ¿Por qué $\frac{0}{0}$ se llama 'indeterminado'?

A: Porque $\frac{0}{0}$ no determina un valor específico — el límite real podría ser cualquier número o incluso infinito. Solo señala que tanto el numerador como el denominador se anulan, y necesitas profundizar más (factorizar, simplificar, etc.) para encontrar el límite verdadero.