Introducción a los límites

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué significa ?
1. a) se aproxima a 3 cuando se aproxima a 5
2. b)
3. c) es igual a 5 cuando es igual a 3
4. d)
Respuesta: se aproxima a 3 cuando se aproxima a 5
La notación significa que cuanto más se acerca a 5, más se acerca a 3. Esto es diferente de decir .
2.
Encuentra
Respuesta: 10
Para funciones continuas como , el límite es igual al valor de la función: .
3.
Encuentra
Respuesta: 5
La sustitución directa funciona: .
4.
¿Qué forma obtienes cuando intentas por sustitución directa?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Respuesta:
Numerador: . Denominador: . Esto da , una forma indeterminada que requiere factorización.
5.
Encuentra
Respuesta: 6
1. Factoriza el numerador . ¿Qué obtienes? (x+3)(x-3)
2. Después de factorizar, cancela el factor común. ¿Qué expresión simplificada queda? x+3
3. Ahora sustituye en la expresión simplificada. 6
6.
Encuentra
Respuesta: 2
. Así .
7.
¿Qué afirmación es verdadera sobre si ?
1. a)El límite es igual a 0
2. b)El límite es igual a 4, aunque no está definido
3. c)El límite es igual a
4. d)El límite no existe
Respuesta: El límite es igual a 4, aunque no está definido
para . El límite es , pero no está definido. ¡Esto muestra que los límites pueden existir donde la función no está definida!
8.
Encuentra
Respuesta: 1
1. Factoriza el numerador . ¿Cuáles son los factores? (x+1)(x+2)
2. Después de factorizar y cancelar , ¿qué expresión queda? x+2
3. Sustituye en la expresión simplificada. 1
9.
¿Cuál es ?
1. a)No existe
2. b)
3. c)
4. d)
Respuesta:
Cuando se aproxima a 0 desde la derecha (lado positivo), se hace cada vez más grande: , , etc. Así .
10.
Encuentra
Respuesta: 2.5
. Cuando , y , así que el límite es .
11.
Encuentra
Respuesta: 0.5
1. ¿Cuál es la mayor potencia de en la expresión? x^2
2. Después de dividir todos los términos por , ¿cuál es el nuevo numerador? 2 - 3/x + 1/x^2
3. Cuando , ¿a qué tienden , y ? 0
4. Entonces el límite se simplifica a 0.5
12.
Para , ¿qué podemos decir sobre ?
1. a)El límite es igual a 1
2. b)El límite es igual a 0
3. c)No existe porque y
4. d)El límite es igual a -1
Respuesta: No existe porque y
Desde la derecha: . Desde la izquierda: . Como los límites laterales difieren, el límite bilateral no existe.
13.
Encuentra
Respuesta: infinity
Cuando el grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2), el límite es . El numerador crece más rápido que el denominador.
14.
Encuentra
Respuesta: 0.25
1. Nota que puede factorizarse como . ¿Cómo se llama esta técnica? diferencia de cuadrados
2. Reescribe la expresión usando esta factorización. ¿Qué se simplifica? sqrt(x) - 2
3. La expresión simplificada es . Sustituye . 0.25
15.
Verdadero o Falso: Si , entonces .
1. a)Falso
2. b)Verdadero
Respuesta: Falso
FALSO. El límite puede existir incluso cuando no está definido o tiene un valor diferente. Por ejemplo, , pero no está definido.
16.
Encuentra
Respuesta: 5/3
1. Factoriza el numerador . (x-5)(x+5)
2. Factoriza el denominador . (x-5)(x+1)
3. Después de cancelar , ¿cuál es la expresión simplificada? (x+5)/(x+1)
4. Sustituye en la expresión simplificada. 5/3
17.
Si y , encuentra
Respuesta: 15
Por la regla del producto de límites: .
18.
Encuentra
Respuesta: 5
Para polinomios, la sustitución directa siempre funciona: .