Límite de un polinomio

Calcula $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3)$.

Identifica el tipo de función: $x^2 - 2x + 3$ es un polinomio, definido para todo $x$ = La sustitución directa funciona

Sustituye $x = 3$: $3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3$ = $6$

Escribe el límite: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ = El límite es $6$

Answer: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$. En la primera gráfica el punto $(3, 6)$ está sobre la curva y los valores de la tabla se acercan a $6$.

Función racional, denominador no nulo

Calcula $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1}{x + 3}$.

Comprueba el denominador en $x = 2$: $2 + 3 = 5 \neq 0$ = Se aplica la propiedad del cociente

Sustituye en el numerador: $2^2 + 1 = 5$ = $5$

Divide: $\frac{5}{5} = 1$ = $1$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1}{x + 3} = 1$

0/0: factorizar y simplificar

Calcula $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$.

Prueba la sustitución directa: $\frac{9 - 3 - 6}{3 - 3} = \frac{0}{0}$ = Indeterminación: primero reescribe

Factoriza el numerador: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ = Factor común $(x - 3)$

Simplifica el factor común ($x \neq 3$ cerca del límite): $\frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3} = x + 2$ = $x + 2$

Vuelve a sustituir: $3 + 2$ = $5$

Answer: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$. La segunda gráfica muestra un hueco en $(3, 5)$: la función no está definida en $3$, pero el límite es $5$.

0/0: factorizar arriba y abajo

Calcula $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 1}$.

Prueba la sustitución directa: $\frac{1 - 4 + 3}{1 - 1} = \frac{0}{0}$ = Indeterminación

Factoriza ambas partes: $\frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 1)(x - 1)}$ = Factor común $(x + 1)$

Simplifica: $\frac{x + 3}{x - 1}$ = Expresión simplificada

Sustituye $x = -1$: $\frac{-1 + 3}{-1 - 1} = \frac{2}{-2}$ = $-1$

Answer: $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 1} = -1$

0/0 con una raíz: racionalizar

Calcula $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.

Prueba la sustitución directa: $\frac{\sqrt{4} - 2}{4 - 4} = \frac{0}{0}$ = Indeterminación

Multiplica numerador y denominador por el conjugado $\sqrt{x} + 2$: $\frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}$ = El numerador se convierte en $x - 4$

Simplifica $(x - 4)$: $\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ = Expresión simplificada

Sustituye $x = 4$: $\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4} = 0{,}25$

Answer: $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{1}{4}$. La tercera gráfica tiene un hueco en $(4;\ 0{,}25)$.

Mistake: Pararse en $\frac{0}{0}$ y responder "el límite es 0", "1" o "no existe"

Why: $\frac{0}{0}$ no es un número ni una respuesta final. Solo dice que el numerador y el denominador comparten un factor que oculta el valor real.

Correct: Toma $\frac{0}{0}$ como una señal: factoriza y simplifica (o racionaliza) y vuelve a sustituir. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$.

Mistake: Simplificar sumandos en lugar de factores, como $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{x - 9}{-3}$

Why: Solo puedes simplificar un factor que multiplique a todo el numerador y a todo el denominador. Una $x$ dentro de una suma no es un factor así.

Correct: Factoriza primero: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$, así que el límite cuando $x \to 3$ es $6$.

Mistake: Tratar $\frac{3}{0}$ como $\frac{0}{0}$ e intentar factorizar

Why: Cuando solo el denominador es 0, no hay factor común que simplificar. Los valores crecen sin cota cerca de ese $x$.

Correct: $\frac{\text{no nulo}}{0}$ significa que no hay límite finito (asíntota vertical). Solo $\frac{0}{0}$ pide factorizar o racionalizar.

Mistake: Multiplicar solo el numerador por el conjugado

Why: Multiplicar solo una parte cambia el valor de la fracción. Lo permitido es multiplicar por $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$, que vale 1.

Correct: Multiplica el numerador Y el denominador por el conjugado, y deja el denominador factorizado para poder simplificar $(x - 4)$.

Velocidad instantánea

El velocímetro muestra la velocidad en un instante. En física se obtiene como el límite de velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más cortos, y ese límite siempre empieza como 0/0.

Un carrito se mueve de modo que su posición es $s(t) = t^2 + 3t$ metros tras $t$ segundos. Su velocidad media entre el segundo 2 y el instante $t$ es $\frac{s(t) - s(2)}{t - 2} = \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$. Al factorizar queda $\frac{(t - 2)(t + 5)}{t - 2} = t + 5$.

Baldosas cuadradas que crecen

Diseñadores e ingenieros se preguntan con qué rapidez cambia un área cuando cambia una longitud. Para un cuadrado de lado $x$ el área es $x^2$, y la tasa de cambio en un tamaño concreto es un límite de la forma 0/0.

Una baldosa cuadrada de lado $x$ cm tiene un área $A(x) = x^2$ cm². Cuando el lado crece de 5 cm a $x$ cm, el área cambia en promedio $\frac{x^2 - 25}{x - 5}$ cm² por cada cm de lado.

Ritmo de crecimiento de una planta

Los biólogos modelan el crecimiento con funciones raíz cuadrada. El ritmo de crecimiento en un día concreto es un límite que hay que racionalizar.

Un brote mide $h(t) = \sqrt{t}$ dm tras $t$ días. Su crecimiento medio entre el día 9 y el día $t$ es $\frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ dm por día.

Q: ¿Por qué puedo simplificar $(x - 3)$ si vale 0 en $x = 3$?

A: Un límite cuando $x \to 3$ solo usa valores de $x$ cercanos a 3, nunca $x = 3$. Para todos esos valores $x - 3 \neq 0$, así que simplificar es válido. Las dos expresiones coinciden en todas partes salvo en $x = 3$, y ese único punto no importa para el límite.

Q: Si obtengo $\frac{0}{0}$, ¿existe el límite?

A: Todavía no lo sabes. $\frac{0}{0}$ puede ocultar cualquier valor: $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$, $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$. Simplifica primero y después decide.

Q: ¿Cuándo debo racionalizar en vez de factorizar?

A: Cuando el 0 viene de una resta con una raíz cuadrada, como $\sqrt{x} - 2$ o $\sqrt{x + 4} - 2$. Multiplica numerador y denominador por el conjugado (mismos términos, signo contrario en medio), porque $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4$ ya no tiene raíz.

Q: ¿El límite es lo mismo que el valor de la función?

A: Para polinomios y para funciones racionales cuyo denominador no es 0, sí: eso es justo lo que dice la sustitución directa. En un hueco, el valor de la función no existe, pero el límite sí (las lecciones «Continuidad» y «Tipos de discontinuidad» lo tratan a fondo).