Leer límites laterales en una gráfica

La gráfica de $f$ muestra la recta $y = x + 1$ para $x < 1$ (círculo vacío en $(1, 2)$) y la recta $y = x + 3$ para $x \ge 1$ (punto relleno en $(1, 4)$). Calcula $\lim_{x \to 1^-} f(x)$, $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ y $\lim_{x \to 1} f(x)$.

Sigue la gráfica desde la izquierda: Recorre la parte izquierda hacia $x = 1$: las alturas se acercan al círculo vacío en $y = 2$ = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Sigue la gráfica desde la derecha: Recorre la parte derecha hacia $x = 1$: las alturas se acercan a $y = 4$ = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Compara los dos lados: $2 \neq 4$, así que la gráfica salta en $x = 1$ = Los límites laterales son distintos

Decide sobre el límite en $1$: Límites laterales distintos significan que no hay un único valor al que se acerque la función. El punto relleno $f(1) = 4$ no cambia esto = $\lim_{x \to 1} f(x)$ no existe

Answer: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$, por lo tanto $\lim_{x \to 1} f(x)$ no existe (aunque $f(1) = 4$).

La función |x|/x en cero

Calcula $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}$ y $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$. ¿Existe $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$?

Simplifica para $x$ positivo: Si $x > 0$, entonces $|x| = x$, así que $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ = $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$

Simplifica para $x$ negativo: Si $x < 0$, entonces $|x| = -x$, así que $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$

Comprueba con números: $\frac{|0{,}01|}{0{,}01} = 1$ y $\frac{|-0{,}01|}{-0{,}01} = -1$ = La tabla de valores lo confirma

Compara: $-1 \neq 1$ = El límite en $0$ no existe

Answer: El límite por la izquierda es $-1$ y el límite por la derecha es $1$, así que $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ no existe. La función ni siquiera está definida en $x = 0$, pero esa no es la razón: la razón es que los dos lados no coinciden.

Una función a trozos cuyo límite existe

Sea $g(x) = x^2$ para $x < 2$, $g(2) = 7$ y $g(x) = 3x - 2$ para $x > 2$. Calcula $\lim_{x \to 2} g(x)$.

Lado izquierdo: usa el trozo para $x < 2$: $x^2 \to 2^2 = 4$ = $\lim_{x \to 2^-} g(x) = 4$

Lado derecho: usa el trozo para $x > 2$: $3x - 2 \to 3 \cdot 2 - 2 = 4$ = $\lim_{x \to 2^+} g(x) = 4$

Compara los límites laterales: Ambos lados se acercan a $4$ = $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$

Mira el valor $g(2)$: $g(2) = 7$, pero el límite solo tiene en cuenta valores cercanos a $2$ = Límite $4$, valor $7$

Answer: $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$. El valor aislado $g(2) = 7$ no cambia el límite; solo crea un hueco con un punto separado por encima.

Un valor absoluto en el denominador

Calcula $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$ y $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$.

Factoriza el numerador: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ = $\frac{(x - 2)(x + 2)}{|x - 2|}$

Lado derecho: $x > 2$: $|x - 2| = x - 2$, así que la fracción es $x + 2 \to 4$ = $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = 4$

Lado izquierdo: $x < 2$: $|x - 2| = -(x - 2)$, así que la fracción es $-(x + 2) \to -4$ = $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = -4$

Comprueba con una tabla de valores: $x = 2{,}01$: $\frac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01$; $x = 1{,}99$: $\frac{-0{,}0399}{0{,}01} = -3{,}99$ = Valores cerca de $4$ y cerca de $-4$

Answer: $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = -4$ y $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = 4$, así que el límite en $2$ no existe.

Elegir una constante para que exista el límite

Sea $h(x) = 2x + k$ para $x < 3$ y $h(x) = x^2 - 1$ para $x \ge 3$. Halla $k$ para que exista $\lim_{x \to 3} h(x)$.

Límite por la derecha: $x^2 - 1 \to 3^2 - 1 = 8$ = $\lim_{x \to 3^+} h(x) = 8$

Límite por la izquierda (con $k$): $2x + k \to 2 \cdot 3 + k = 6 + k$ = $\lim_{x \to 3^-} h(x) = 6 + k$

Iguala los límites laterales: $6 + k = 8$ = $k = 2$

Comprueba: Con $k = 2$: por la izquierda $2 \cdot 3 + 2 = 8$, por la derecha $8$ = $\lim_{x \to 3} h(x) = 8$

Answer: $k = 2$. Entonces los dos límites laterales valen $8$, así que $\lim_{x \to 3} h(x) = 8$.

Mistake: Tomar el punto relleno $f(a)$ como límite

Why: Un límite describe las alturas a las que se acerca la gráfica cerca de $a$, no la altura en $a$. En el ejemplo 1, $f(1) = 4$, pero por la izquierda la gráfica se acerca a $2$.

Correct: Sigue cada lado de la gráfica hasta $a$ e ignora el punto en $x = a$. Usa $f(a)$ solo cuando te pregunten por el valor de la función.

Mistake: Leer $x \to 3^-$ como "$x$ tiende a $-3$"

Why: El pequeño signo menos se escribe después del número, como superíndice. Indica el lado, no el signo del número.

Correct: $x \to 3^-$ significa $x = 2{,}9$; $2{,}99$; $2{,}999$; ... (valores menores que $3$). $x \to 3^+$ significa $x = 3{,}1$; $3{,}01$; $3{,}001$; ...

Mistake: Usar para los dos lados el trozo que contiene $x = a$

Why: En $f(x) = x + 1$ para $x < 1$ y $f(x) = x + 3$ para $x \ge 1$, el trozo $x + 3$ solo describe el lado derecho. El lado izquierdo siempre lo da el trozo para $x < 1$.

Correct: Para $x \to a^-$ usa la fórmula de los valores justo por debajo de $a$; para $x \to a^+$, la de los valores justo por encima de $a$. El signo $\le$ o $\ge$ solo decide $f(a)$.

Mistake: Decir que el límite existe porque existen los dos límites laterales

Why: En el ejemplo 1 existen los dos límites laterales ($2$ y $4$), pero son números distintos, así que no hay un único valor $L$.

Correct: El límite en $a$ existe solo si los dos límites laterales existen **y** son iguales.

Tarifas de aparcamiento

Muchos aparcamientos cobran por hora empezada, así que el precio salta en cada hora completa. Los límites laterales describen el precio justo antes y justo después del salto.

Un aparcamiento cobra $P(t) = 3$ dólares para $0 < t \le 1$ hora y $P(t) = 5$ dólares para $1 < t \le 2$ horas. Justo antes de una hora pagas 3 dólares, justo después 5 dólares.

Construir una rampa sin escalón

Al unir una rampa con una plataforma, las alturas de los dos lados deben coincidir. Si no, queda un escalón con el que se puede tropezar.

Una rampa tiene altura $h(x) = 0{,}2x$ metros para $0 \le x < 5$, y en $x = 5$ empieza una plataforma de altura constante $c$. La rampa y la plataforma se unen sin escalón exactamente cuando $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$.

Tarifas de datos móviles

Una tarifa de datos suele tener un precio fijo hasta un límite y después un recargo por cada gigabyte. Los límites laterales muestran si el precio salta en ese límite.

Una tarifa cuesta $C(g) = 10$ dólares para $0 \le g \le 5$ GB y $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ dólares para $g > 5$. Justo por encima de 5 GB el precio empieza a subir, pero parte de 10.

Q: ¿Puede existir un límite lateral cuando el límite en $a$ no existe?

A: Sí, y es el caso típico de un salto. Para $\frac{|x|}{x}$ en $0$ existen los dos límites laterales ($-1$ y $1$), pero el límite en $0$ no existe, porque son distintos.

Q: ¿Decide el límite el punto relleno o el círculo vacío?

A: Ninguno de los dos. Los círculos y puntos solo muestran el valor $f(a)$. Los límites salen de la curva a cada lado, mientras se acerca a $x = a$.

Q: ¿Y si la función solo está definida a un lado?

A: Entonces solo tiene sentido un límite lateral. Para $\sqrt{x}$ en $0$ no hay valores a la izquierda, así que usamos $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. En el borde del dominio, el límite lateral es la pregunta natural.

Q: ¿Puede un límite lateral ser infinito?

A: Sí. Por ejemplo, $\frac{1}{x}$ crece sin límite cuando $x \to 0^+$. Estos casos se estudian en la lección Límites infinitos; en esta lección todos los límites laterales son números.