Logaritmo de 1 y logaritmo de la base

Calcula $\log_9 1 + \log_9 9$.

Calcula $\log_9 1$: ¿Qué potencia de $9$ da $1$? $9^0 = 1$ = $\log_9 1 = 0$

Calcula $\log_9 9$: ¿Qué potencia de $9$ da $9$? $9^1 = 9$ = $\log_9 9 = 1$

Suma los resultados: $0 + 1$ = $1$

Answer: $\log_9 1 + \log_9 9 = 1$

Logaritmo de una potencia de la base

Calcula $\log_4 64$ sin calculadora.

Escribe el argumento como potencia de la base: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ = $64 = 4^3$

Reescribe el logaritmo: $\log_4 64 = \log_4(4^3)$ = $\log_4(4^3)$

Aplica $\log_b(b^x) = x$: El logaritmo y la potencia se cancelan, queda el exponente = $3$

Answer: $\log_4 64 = 3$

Base elevada a un logaritmo

Simplifica $3^{\log_3 7} + 2^{\log_2 5}$.

Comprueba las bases: En $3^{\log_3 7}$ las dos bases son $3$, en $2^{\log_2 5}$ las dos bases son $2$ = Las bases coinciden

Aplica $b^{\log_b x} = x$ al primer término: $\log_3 7$ es el exponente que convierte $3$ en $7$ = $3^{\log_3 7} = 7$

Aplica la misma propiedad al segundo término: $\log_2 5$ es el exponente que convierte $2$ en $5$ = $2^{\log_2 5} = 5$

Suma: $7 + 5$ = $12$

Answer: $3^{\log_3 7} + 2^{\log_2 5} = 12$

Usar la igualdad de logaritmos

Resuelve $\log_3(2x + 1) = \log_3(x + 6)$.

Misma base en los dos lados, así que igualamos los argumentos: Si $\log_3 M = \log_3 N$, entonces $M = N$ = $2x + 1 = x + 6$

Resuelve la ecuación lineal: $2x - x = 6 - 1$ = $x = 5$

Comprueba que los dos argumentos son positivos: $2 \cdot 5 + 1 = 11 > 0$ y $5 + 6 = 11 > 0$ = Los dos argumentos valen $11$

Answer: $x = 5$

Igualdad de logaritmos con comprobación del dominio

Resuelve $\log_4(x^2 - 4) = \log_4(3x)$.

Iguala los argumentos: Igualdad de logaritmos con base $4$ = $x^2 - 4 = 3x$

Escribe la ecuación de segundo grado en forma general: $x^2 - 3x - 4 = 0$ = $(x - 4)(x + 1) = 0$

Encuentra los dos candidatos: $x - 4 = 0$ o $x + 1 = 0$ = $x = 4$ o $x = -1$

Comprueba $x = -1$: $3x = -3$, y $\log_4(-3)$ no está definido = $x = -1$ es una solución extraña, se descarta

Comprueba $x = 4$: $4^2 - 4 = 12 > 0$ y $3 \cdot 4 = 12 > 0$ = $x = 4$ es válida

Answer: $x = 4$ (el candidato $x = -1$ se descarta)

Mistake: Escribir $\log_b 1 = 1$ o $\log_b 1 = b$

Why: El logaritmo es el exponente, no el resultado. La pregunta es: ¿qué potencia de $b$ da $1$?

Correct: $b^0 = 1$, así que $\log_b 1 = 0$ para toda base permitida. Por ejemplo, $\log_7 1 = 0$.

Mistake: Pensar que $\log_b 0 = 0$ o que el logaritmo de un número negativo es un número negativo

Why: Una base positiva elevada a cualquier potencia siempre es positiva, así que ningún exponente da $0$ ni un número negativo.

Correct: $\log_b 0$ y $\log_b(-4)$ no están definidos. El argumento debe ser mayor que $0$, pero el valor de un logaritmo sí puede ser negativo: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$.

Mistake: Cancelar una potencia y un logaritmo con bases distintas: $2^{\log_3 9} = 9$

Why: $b^{\log_b x} = x$ solo funciona cuando la base de la potencia y la base del logaritmo son el mismo número.

Correct: Aquí las bases son distintas: $\log_3 9 = 2$, así que $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$, no $9$.

Mistake: Usar la igualdad de logaritmos y no comprobar los argumentos

Why: Al igualar los argumentos puede salir un valor que hace un argumento cero o negativo, donde el logaritmo original no existe.

Correct: Sustituye siempre cada candidato en todos los argumentos. Quédate con él solo si todos los argumentos son positivos.

Nivel sonoro en decibelios

El nivel de un sonido es $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ decibelios, donde $I_0$ es el sonido más débil que una persona puede oír. Las propiedades básicas hacen el cálculo rápido.

En el umbral de audición $I = I_0$, así que $L = 10 \log 1 = 10 \cdot 0 = 0$ decibelios.

Acidez y pH

En química la acidez se mide con $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones hidrógeno en moles por litro. La propiedad inversa convierte un pH en una concentración.

El agua pura tiene $[H^+] = 10^{-7}$, así que $\text{pH} = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$.

Rondas de un torneo por eliminatorias

En un torneo por eliminatorias, la mitad de los participantes queda eliminada en cada ronda. Con $2^n$ participantes hay $\log_2(2^n) = n$ rondas hasta que queda un ganador.

Con $16 = 2^4$ equipos hay $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$ rondas.

Q: ¿Por qué $\log_b 1$ siempre vale $0$?

A: Cualquier base permitida elevada a $0$ da $1$: $2^0 = 1$, $10^0 = 1$, $e^0 = 1$. El logaritmo pregunta por ese exponente, así que la respuesta siempre es $0$.

Q: ¿Puede ser negativo el valor de un logaritmo?

A: Sí. Solo el argumento tiene que ser positivo. Por ejemplo, $\log_{10} 0{,}01 = -2$ porque $10^{-2} = 0{,}01$. El argumento $0{,}01$ es positivo y el valor $-2$ es negativo.

Q: ¿Por qué $b^{\log_b x} = x$ necesita $x > 0$, mientras que $\log_b(b^x) = x$ vale para todo $x$?

A: En $\log_b(b^x)$ el argumento $b^x$ siempre es positivo, así que cualquier $x$ real está permitido. En $b^{\log_b x}$ primero tiene que existir $\log_b x$, y para eso hace falta $x > 0$.

Q: ¿Dónde están las reglas del producto, del cociente y de la potencia?

A: Cada una tiene su propia lección: Regla del producto para logaritmos, Regla del cociente de los logaritmos y Regla de la potencia de los logaritmos. Usan las propiedades de esta lección, así que conviene dominarlas primero.