Calcular con la regla de la potencia

Calcula $\log_2(8^5)$ sin calculadora.

Pasa el exponente delante: $\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ = $5 \log_2 8$

Calcula el logaritmo más sencillo: $2^3 = 8$, así que $\log_2 8 = 3$ = $\log_2 8 = 3$

Multiplica: $5 \cdot 3 = 15$ = $15$

Answer: $\log_2(8^5) = 15$. Comprobación: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.

Logaritmo de una raíz

Calcula $\log_5 \sqrt{125}$.

Escribe la raíz como potencia fraccionaria: $\sqrt{125} = 125^{1/2}$ = $\log_5(125^{1/2})$

Aplica la regla de la potencia: $\log_5(125^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_5 125$ = $\frac{1}{2} \log_5 125$

Calcula el logaritmo: $5^3 = 125$, así que $\log_5 125 = 3$ = $\log_5 125 = 3$

Multiplica: $\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$

Answer: $\log_5 \sqrt{125} = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Desarrollar con las tres reglas

Desarrolla $\log \dfrac{x^3 y^2}{\sqrt{z}}$ (todas las variables positivas).

Regla del cociente: numerador menos denominador: $\log(x^3 y^2) - \log \sqrt{z}$ = Dos logaritmos

Regla del producto en el numerador: $\log(x^3 y^2) = \log x^3 + \log y^2$ = $\log x^3 + \log y^2 - \log \sqrt{z}$

Escribe la raíz como potencia: $\sqrt{z} = z^{1/2}$ = $\log x^3 + \log y^2 - \log z^{1/2}$

Regla de la potencia en cada término: Pasa cada exponente delante = $3 \log x + 2 \log y - \frac{1}{2} \log z$

Answer: $\log \dfrac{x^3 y^2}{\sqrt{z}} = 3 \log x + 2 \log y - \frac{1}{2} \log z$

Compactar en un solo logaritmo

Escribe $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z$ como un único logaritmo.

Regla de la potencia al revés: los coeficientes pasan a ser exponentes: $2 \ln x = \ln x^2$, $3 \ln y = \ln y^3$, $4 \ln z = \ln z^4$ = $\ln x^2 + \ln y^3 - \ln z^4$

Regla del producto al revés en la suma: $\ln x^2 + \ln y^3 = \ln(x^2 y^3)$ = $\ln(x^2 y^3) - \ln z^4$

Regla del cociente al revés en la resta: $\ln(x^2 y^3) - \ln z^4 = \ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$ = $\ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$

Answer: $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z = \ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$

Aproximar con logaritmos conocidos

Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ y $\log 3 \approx 0{,}477$ para aproximar $\log 72$.

Descompón en potencias de primos: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ = $\log 72 = \log(2^3 \cdot 3^2)$

Regla del producto: $\log(2^3 \cdot 3^2) = \log 2^3 + \log 3^2$ = $\log 2^3 + \log 3^2$

Regla de la potencia: $\log 2^3 + \log 3^2 = 3 \log 2 + 2 \log 3$ = $3 \log 2 + 2 \log 3$

Sustituye los valores: $3 \cdot 0{,}301 + 2 \cdot 0{,}477 = 0{,}903 + 0{,}954$ = $1{,}857$

Answer: $\log 72 \approx 1{,}857$ (la calculadora da $1{,}8573$)

Mistake: Tratar $(\log M)^p$ como $p \log M$

Why: La regla de la potencia solo funciona cuando el exponente está en el **argumento**, dentro del logaritmo. En $(\log M)^p$ es todo el logaritmo el que se eleva. Ejemplo: $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$, pero $3 \log 100 = 6$.

Correct: $\log(M^p) = p \log M$, mientras que $(\log M)^p$ no se simplifica con la regla de la potencia. Fíjate dónde está el exponente antes de moverlo.

Mistake: Aplicar el exponente a todo el argumento: $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Why: En $3x^2$ solo $x$ está al cuadrado, no el $3$. Compruébalo con $x = 10$: $\log 300 \approx 2{,}48$, pero $2 \log 30 \approx 2{,}95$.

Correct: Separa primero el producto: $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$.

Mistake: Convertir una raíz cuadrada en un factor 2: $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Why: Una raíz cuadrada es la potencia $\frac{1}{2}$, no la potencia $2$. El índice de la raíz va al denominador.

Correct: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$, y $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$.

Mistake: Compactar $3 \log x - \log y$ como $\log \frac{3x}{y}$

Why: Un coeficiente delante de un logaritmo es un **exponente** del argumento, no un factor del mismo.

Correct: Primero sube el coeficiente: $3 \log x = \log x^3$. Después, $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$.

Volumen en decibelios

El cambio de nivel sonoro es $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ decibelios, donde $\frac{I_2}{I_1}$ indica cuántas veces aumenta la intensidad. La regla de la potencia convierte las potencias de 10 en una simple multiplicación.

Si duplicas tu distancia a un altavoz, la intensidad se divide entre $2^2 = 4$, así que $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

Contar las cifras de números enormes

Un número natural $N$ tiene $\lfloor \log N \rfloor + 1$ cifras. Con la regla de la potencia puedes contar las cifras de potencias enormes sin calcularlas.

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$, así que $2^{10} = 1024$ tiene $3 + 1 = 4$ cifras.

Crecimiento de una población

Una población que crece un porcentaje fijo cada año es una función exponencial del tiempo. Para saber cuándo alcanza una meta, la regla de la potencia baja el tiempo del exponente.

Con un crecimiento del 10 % anual, una población se duplica cuando $1{,}1^t = 2$: $t \log 1{,}1 = \log 2$, así que $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ años.

Q: ¿Por qué funciona la regla de la potencia?

A: Un logaritmo es un exponente. Si $\log_b M = x$, entonces $M = b^x$ y $M^p = b^{px}$. Elevar a la potencia $p$ multiplica el exponente por $p$, así que el logaritmo (el exponente) también queda multiplicado por $p$.

Q: ¿El exponente tiene que ser un número entero?

A: No. La regla de la potencia vale para cualquier exponente real: negativo ($\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M$), fraccionario ($\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M$) e incluso irracional.

Q: ¿Son $\log(x^2)$ y $2 \log x$ realmente la misma función?

A: Solo para $x > 0$. La función $\log(x^2)$ también existe para $x$ negativo (por ejemplo, $\log((-10)^2) = \log 100 = 2$), pero $2 \log x$ no. Para todo $x \neq 0$ la afirmación exacta es $\log(x^2) = 2 \log |x|$. La gráfica de arriba muestra ambas curvas.

Q: ¿Cuándo debo desarrollar y cuándo compactar?

A: Desarrolla cuando quieras piezas sencillas, por ejemplo para aproximar $\log 72$ a partir de $\log 2$ y $\log 3$. Compacta cuando quieras un único logaritmo, por ejemplo para resolver una ecuación como $2 \log x - \log 4 = 2$ (consulta Resolver ecuaciones logarítmicas).