Comprobar la regla con números

Demuestra que $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$.

Calcula el lado izquierdo: $4 \cdot 8 = 32$ y $2^5 = 32$ = $\log_2 32 = 5$

Calcula cada logaritmo del lado derecho: $2^2 = 4$ y $2^3 = 8$ = $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$

Suma y compara: $2 + 3 = 5$, igual que el lado izquierdo = $5 = 5$

Answer: Los dos lados valen $5$: multiplicar $4$ por $8$ suma los exponentes $2$ y $3$.

Desarrollar un logaritmo

Desarrolla $\log_3(9x)$ todo lo posible ($x > 0$).

Escribe el producto como una suma: $\log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x$ = $\log_3 9 + \log_3 x$

Calcula el logaritmo que puedas: $3^2 = 9$, así que $\log_3 9 = 2$ = $2$

Escribe la forma final: Sustituye $\log_3 9$ por $2$ = $2 + \log_3 x$

Answer: $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$

Compactar una suma de logaritmos

Escribe $\log_4 2 + \log_4 8$ como un solo logaritmo y calcúlalo.

Comprueba que las bases coinciden: Los dos logaritmos tienen base $4$, así que la regla se aplica = Misma base

Multiplica los argumentos: $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4(2 \cdot 8)$ = $\log_4 16$

Calcula: $4^2 = 16$ = $\log_4 16 = 2$

Answer: $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16 = 2$

Calcular con logaritmos conocidos

Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ y $\log 3 \approx 0{,}477$ (logaritmos decimales, base 10) para aproximar $\log 12$.

Descompón el argumento en números cuyos logaritmos conoces: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ = $\log 12 = \log 2 + \log 2 + \log 3$

Sustituye los valores conocidos: $0{,}301 + 0{,}301 + 0{,}477$ = $1{,}079$

Comprueba con la calculadora: $\log 12 = 1{,}07918\ldots$ = $\log 12 \approx 1{,}079$

Answer: $\log 12 \approx 1{,}079$

Compactar con variables

Escribe $\log_2 x + \log_2(x + 2)$ como un solo logaritmo y luego calcúlalo para $x = 2$.

Multiplica los argumentos: $\log_2 x + \log_2(x+2) = \log_2\big(x(x+2)\big)$ = $\log_2(x^2 + 2x)$

Fíjate en el dominio: Los dos logaritmos originales necesitan $x > 0$ y $x + 2 > 0$ = $x > 0$

Sustituye $x = 2$: $2^2 + 2 \cdot 2 = 8$ = $\log_2 8$

Calcula y comprueba: $\log_2 8 = 3$, y $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$ = $3$

Answer: $\log_2(x^2 + 2x)$ para $x > 0$; en $x = 2$ su valor es $3$.

Mistake: Escribir $\log(M + N) = \log M + \log N$

Why: La regla trata de un producto dentro del logaritmo, no de una suma. Comprobación: $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, pero $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$.

Correct: Solo se cumple $\log(MN) = \log M + \log N$. El logaritmo de una suma, como $\log(x + 3)$, no se puede separar.

Mistake: Multiplicar los logaritmos: $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Why: Al multiplicar los números se suman los exponentes, no se multiplican. Comprobación: $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$, pero $\log_2 32 = 5$.

Correct: Un producto dentro se convierte en una suma fuera: $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$.

Mistake: Compactar logaritmos de bases distintas: $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Why: La demostración usa $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$, que solo funciona cuando las dos potencias tienen la misma base $b$.

Correct: Compacta solo logaritmos de la misma base. $\log_2 x + \log_3 y$ se queda como está (o usa antes la fórmula del cambio de base).

Mistake: Usar la regla con factores negativos: $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Why: $\log 10 = 1$ existe, pero $\log(-2)$ y $\log(-5)$ no: el argumento de un logaritmo debe ser positivo.

Correct: La regla necesita $M > 0$ y $N > 0$. Al compactar, conserva el dominio de los logaritmos originales (por ejemplo, $x > 0$).

Decibelios e intensidad del sonido

El nivel sonoro en decibelios es $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Cuando la intensidad $I$ se multiplica por un factor $k$, la regla del producto da $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, así que el nivel sube $10 \log k$.

Un sonido que se vuelve 10 veces más intenso sube $10 \log 10 = 10$ decibelios, sea cual sea su nivel inicial.

La regla de cálculo: multiplicar sumando

Una regla de cálculo marca cada número $x$ a una distancia $\log x$ del inicio. Al deslizar una escala sobre la otra se suman dos distancias, y por la regla del producto la suma de las distancias es el logaritmo del producto.

Para multiplicar $2 \cdot 3$ se suma $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$, y justo ahí está marcado el $6$.

Bits de información

En informática, para guardar una de $N$ opciones igual de probables se necesitan $\log_2 N$ bits. Combinar dos elecciones independientes multiplica las opciones pero suma los bits.

Elegir entre $8$ símbolos necesita $\log_2 8 = 3$ bits, elegir entre $4$ necesita $2$ bits, y las dos juntas tienen $32$ opciones: $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ bits.

Q: ¿La regla del producto funciona con más de dos factores?

A: Sí. Aplícala varias veces: $\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P$. Por ejemplo, $\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7$.

Q: ¿Funciona también con el logaritmo natural?

A: Sí, funciona con cualquier base válida, también con $e$: $\ln(MN) = \ln M + \ln N$. Por ejemplo, $\ln 2 + \ln 5 = \ln 10$.

Q: ¿Hay una regla para $\log(M + N)$?

A: No. En general, el logaritmo de una suma no tiene una forma más sencilla. $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, mientras que $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$.

Q: ¿En qué se diferencia de las reglas del cociente y de la potencia?

A: Son hermanas de la misma idea. La regla del producto convierte la multiplicación en suma; la Regla del cociente de los logaritmos convierte la división en resta; la Regla de la potencia de los logaritmos convierte una potencia en una multiplicación por el exponente.