Lanzar un dado equilibrado

Crea una distribución de probabilidad para lanzar un dado equilibrado.

Identifica todos los resultados posibles: Un dado puede mostrar 1, 2, 3, 4, 5 o 6 = 6 resultados

Determina la probabilidad de cada resultado: Dado equilibrado significa que cada cara es igualmente probable: $P = \frac{1}{6}$ = $P(x) = \frac{1}{6}$ para cada uno

Verifica que las probabilidades sumen 1: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ = Distribución válida

Escribe la tabla de distribución: | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | $P(x)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | = Distribución uniforme

Answer: Esto se llama una **distribución uniforme** porque todos los resultados tienen la misma probabilidad de $\frac{1}{6} \approx 0,167$.

Suma de dos dados

Crea una distribución de probabilidad para la suma al lanzar dos dados.

Encuentra todas las sumas posibles: Mínimo: $1+1=2$, Máximo: $6+6=12$ = Las sumas van de 2 a 12

Cuenta el total de resultados: Dado 1 tiene 6 opciones, Dado 2 tiene 6 opciones: $6 \times 6 = 36$ = 36 resultados en total

Cuenta las formas de obtener cada suma: Suma 2: (1,1) = 1 forma Suma 3: (1,2), (2,1) = 2 formas Suma 4: (1,3), (2,2), (3,1) = 3 formas Suma 7: 6 formas (la más común) = Cada suma tiene diferente frecuencia

Calcula las probabilidades: $P(2) = \frac{1}{36}$, $P(3) = \frac{2}{36}$, $P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ = ¡No uniforme!

Answer: La distribución **no es uniforme** - la suma de 7 es la más probable ($P = \frac{1}{6}$), mientras que 2 y 12 son las menos probables ($P = \frac{1}{36}$).

Cálculo del valor esperado

Un juego cuesta 2 euros para jugar. Ganas 10 euros si sacas un 6 con un dado equilibrado, y nada de lo contrario. ¿Cuál es el valor esperado?

Identifica los resultados y pagos: Sacar 6: Ganar 10 euros, Ganancia neta = 10 - 2 = 8 euros Sacar 1-5: Ganar 0 euros, Ganancia neta = 0 - 2 = -2 euros = Dos posibles resultados netos: 8 o -2

Encuentra las probabilidades: $P(\text{sacar 6}) = \frac{1}{6}$ $P(\text{sacar 1-5}) = \frac{5}{6}$ = Probabilidades encontradas

Aplica la fórmula del valor esperado: $E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$ $E(X) = 8 \cdot \frac{1}{6} + (-2) \cdot \frac{5}{6}$ = $E(X) = \frac{8}{6} - \frac{10}{6}$

Calcula: $E(X) = \frac{8-10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ = $E(X) \approx -0,33$ euros

Answer: El valor esperado es $-\frac{1}{3}$ euros (aproximadamente -33 céntimos). En promedio, pierdes 33 céntimos por partida - ¡el juego favorece a la casa!

Mistake: Probabilidades que no suman 1

Why: Una distribución de probabilidad válida DEBE tener todas las probabilidades que sumen exactamente 1. Si no, has olvidado un resultado o cometido un error de cálculo.

Correct: Verifica siempre: $\sum P(x_i) = 1$. Si la suma es menor que 1, faltan resultados. Si es mayor, has contado algo dos veces.

Mistake: Confundir probabilidad con frecuencia

Why: La frecuencia es un conteo (ej. '6 formas de obtener un 7'), mientras que la probabilidad es una razón (ej. '$P(7) = 6/36$').

Correct: Probabilidad = resultados favorables dividido por resultados totales. Siempre exprésala como fracción, decimal o porcentaje.

Mistake: Suponer que todos los resultados son igualmente probables

Why: Muchas distribuciones NO son uniformes. Con dos dados, la suma de 7 es más probable que la suma de 2.

Correct: Cuenta cuidadosamente las formas de lograr cada resultado. Solo los experimentos simples (un solo dado, lanzamiento de moneda) tienden a ser uniformes.

Control de calidad en manufactura

Las fábricas usan distribuciones de probabilidad para predecir cuántos artículos defectuosos se producirán.

Si una máquina produce 1000 artículos y tiene una tasa de defectos del 2%, el número esperado de defectos es $1000 \times 0,02 = 20$.

Evaluación de riesgos en seguros

Las compañías de seguros usan distribuciones de probabilidad para calcular primas justas basadas en la probabilidad de reclamaciones.

Si el 5% de los conductores presenta reclamaciones promedio de 5000 euros, el pago esperado por conductor es $0,05 \times 5000 = 250$ euros.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre distribuciones discretas y continuas?

A: Las distribuciones discretas tienen resultados contables (como lanzamientos de dados: 1, 2, 3, 4, 5, 6). Las distribuciones continuas tienen resultados incontables (como la altura, que puede ser cualquier valor en un rango). Esta lección se enfoca en distribuciones discretas.

Q: ¿Puede una probabilidad ser negativa?

A: ¡No! Las probabilidades siempre están entre 0 y 1 (inclusive). Una probabilidad de 0 significa imposible, y 1 significa seguro.

Q: ¿Qué nos dice el valor esperado?

A: El valor esperado es el resultado promedio si repitieras el experimento muchas veces. No significa que obtendrás exactamente ese valor - es un promedio a largo plazo.