Coeficiente de correlación

Aprende a medir la fuerza y dirección de una relación lineal entre dos variables usando el coeficiente de correlación r.

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Definición

El coeficiente de correlación (denotado rr) mide la fuerza y dirección de una relación lineal entre dos variables.
r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2⋅∑(yi−yˉ)2r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum(y_i - \bar{y})^2}}
**Propiedades clave de rr:**
  • rr siempre está entre −1-1 y 11: −1≤r≤1-1 \le r \le 1
  • r=1r = 1: Correlación positiva perfecta
  • r=−1r = -1: Correlación negativa perfecta
  • r=0r = 0: Sin correlación lineal
**Interpretación de ∣r∣|r|:**
Valor de $rFuerza
0,00−0,190,00 - 0,19Muy débil
0,20−0,390,20 - 0,39Débil
0,40−0,590,40 - 0,59Moderada
0,60−0,790,60 - 0,79Fuerte
0,80−1,000,80 - 1,00Muy fuerte

Pruébalo ahora

¿Qué indica un coeficiente de correlación de r=1r = 1?

Ejemplos resueltos

Encuentra el coeficiente de correlación para los datos: (1,2),(2,4),(3,5),(4,4),(5,5)(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5)
1

Calcula las medias xˉ\bar{x} y yˉ\bar{y}

xˉ=1+2+3+4+55=3\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3, yˉ=2+4+5+4+55=4\bar{y} = \frac{2+4+5+4+5}{5} = 4 → xˉ=3\bar{x} = 3, yˉ=4\bar{y} = 4
2

Calcula las desviaciones (xi−xˉ)(x_i - \bar{x}) y (yi−yˉ)(y_i - \bar{y})

Punto (1,2)(1,2): (−2,−2)(-2, -2) Punto (2,4)(2,4): (−1,0)(-1, 0) Punto (3,5)(3,5): (0,1)(0, 1) Punto (4,4)(4,4): (1,0)(1, 0) Punto (5,5)(5,5): (2,1)(2, 1) → Desviaciones calculadas
3

Calcula los productos (xi−xˉ)(yi−yˉ)(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

(−2)(−2)=4(-2)(-2) = 4 (−1)(0)=0(-1)(0) = 0 (0)(1)=0(0)(1) = 0 (1)(0)=0(1)(0) = 0 (2)(1)=2(2)(1) = 2 Suma =4+0+0+0+2=6= 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6 → ∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)=6\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 6
4

Calcula ∑(xi−xˉ)2\sum(x_i - \bar{x})^2

(−2)2+(−1)2+02+12+22=4+1+0+1+4=10(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 → ∑(xi−xˉ)2=10\sum(x_i - \bar{x})^2 = 10
5

Calcula ∑(yi−yˉ)2\sum(y_i - \bar{y})^2

(−2)2+02+12+02+12=4+0+1+0+1=6(-2)^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = 4 + 0 + 1 + 0 + 1 = 6 → ∑(yi−yˉ)2=6\sum(y_i - \bar{y})^2 = 6
6

Aplica la fórmula

r=610⋅6=660=67,746≈0,775r = \frac{6}{\sqrt{10 \cdot 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} = \frac{6}{7,746} \approx 0,775 → r≈0,77r \approx 0,77

Errores comunes

Asumir que correlación implica causalidad

Por qué está mal: Una correlación fuerte entre AA y BB no significa que AA cause BB. Podría haber una tercera variable afectando ambas, o la relación podría ser coincidencia.

Correcto: Siempre di "asociado con" o "correlacionado con" en lugar de "causa". Busca evidencia experimental para establecer causalidad.

Ignorar valores atípicos al interpretar rr

Por qué está mal: Un solo valor atípico puede cambiar dramáticamente el coeficiente de correlación. rr es sensible a valores extremos.

Correcto: Siempre grafica los datos primero. Busca valores atípicos y considera calcular rr con y sin ellos.

Usar rr para relaciones no lineales

Por qué está mal: rr solo mide relaciones lineales. Un patrón curvo perfecto podría tener r=0r = 0.

Correcto: Examina el diagrama de dispersión. Si el patrón es curvo, rr no es la medida correcta. Considera transformaciones o modelos no lineales.

Visual interactivo

Diagrama de dispersión

Datos: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5)

123452345xy

ŷ = 0,6x + 2,2

r = 0,775 · correlación positiva fuerte

Toca un punto para ver sus coordenadas.

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Qué indica un coeficiente de correlación de r=1r = 1?

Por qué es importante

El coeficiente de correlación es fundamental en el análisis de datos:
  • Ciencia: Los investigadores miden qué tan fuertemente se relacionan variables como temperatura y ventas de helados
  • Finanzas: Los analistas rastrean cómo se mueven juntos los precios de las acciones (diversificación de cartera)
  • Medicina: Los médicos estudian relaciones entre factores de riesgo y resultados de salud
  • Deportes: Los entrenadores analizan qué estadísticas predicen mejor el éxito del equipo
Entender rr te ayuda a:
  • Cuantificar relaciones que "parecen" lineales en diagramas de dispersión
  • Hacer predicciones usando análisis de regresión
  • Evaluar la confiabilidad de modelos estadísticos
  • Comunicar hallazgos con precisión ("correlación positiva fuerte" vs "correlación negativa débil")

Aplicaciones del mundo real

Diversificación en el mercado de valores

Los analistas de inversiones usan la correlación para construir carteras diversificadas. Las acciones con correlación baja o negativa equilibran el riesgo.

Ejemplo:

Si la acción A y la acción B tienen r=−0,3r = -0,3, cuando A baja, B tiende a subir ligeramente, reduciendo la volatilidad de la cartera.

1Inténtalo tú mismo

Dos acciones tecnológicas tienen r=0,92r = 0,92. Dos acciones de sectores diferentes tienen r=0,15r = 0,15.

¿Qué par proporciona mejor diversificación?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Compara: ∣0,92∣|0,92| vs ∣0,15∣|0,15|

Investigación médica

Los investigadores usan la correlación para identificar posibles factores de riesgo para enfermedades.

Ejemplo:

Un estudio encuentra r=0,68r = 0,68 entre la presión arterial y el riesgo de enfermedad cardíaca, indicando una fuerte relación positiva.

2Inténtalo tú mismo

Tres factores de salud muestran correlaciones con el riesgo de diabetes: Ejercicio (r=−0,45r = -0,45), Consumo de azúcar (r=0,52r = 0,52), Calidad del sueño (r=−0,31r = -0,31).

¿Qué factor tiene la relación más fuerte con el riesgo de diabetes?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Compara valores absolutos: ∣−0,45∣|-0,45|, ∣0,52∣|0,52|, ∣−0,31∣|-0,31|

Puntos clave

  • 1El coeficiente de correlación rr mide la fuerza y dirección de una relación lineal
  • 2rr varía de −1-1 (negativo perfecto) a +1+1 (positivo perfecto), con 00 indicando ninguna relación lineal
  • 3El valor absoluto ∣r∣|r| indica la fuerza: más cerca de 11 es más fuerte, más cerca de 00 es más débil
  • 4Siempre visualiza los datos con un diagrama de dispersión antes de interpretar rr
  • 5Correlación no implica causalidad - la asociación no es lo mismo que causa y efecto

Preguntas frecuentes

La correlación muestra que dos variables se mueven juntas, pero la causalidad significa que una variable causa directamente cambios en la otra. Las ventas de helados y los ahogamientos están correlacionados (ambos aumentan en verano), pero el helado no causa ahogamientos - el clima caliente afecta a ambos.
La correlación muestra que dos variables se mueven juntas, pero la causalidad significa que una variable causa directamente cambios en la otra. Las ventas de helados y los ahogamientos están correlacionados (ambos aumentan en verano), pero el helado no causa ahogamientos - el clima caliente afecta a ambos.
No. Por definición matemática, rr siempre está entre −1-1 y 11. Si calculas un valor fuera de este rango, hay un error en tus cálculos.
r=0r = 0 significa que no hay relación lineal entre las variables. Sin embargo, todavía podría haber una relación no lineal (como una parábola o curva sinusoidal).

Glosario

Coeficiente de correlación (rr)
Una medida numérica de −1-1 a +1+1 que cuantifica la fuerza y dirección de una relación lineal entre dos variables
Correlación positiva
Cuando r>0r > 0: a medida que una variable aumenta, la otra tiende a aumentar
Correlación negativa
Cuando r<0r < 0: a medida que una variable aumenta, la otra tiende a disminuir
Correlación de Pearson
El tipo más común de coeficiente de correlación, que mide relaciones lineales (también llamado rr de Pearson)
Diagrama de dispersión
Un gráfico que muestra puntos para datos emparejados, usado para visualizar relaciones entre variables

Tarjeta de fórmulas

Fórmula del coeficiente de correlación

r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2⋅∑(yi−yˉ)2r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum(y_i - \bar{y})^2}}

Forma alternativa: $r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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