De r a R²

En un grupo de estudiantes, la correlación entre el tiempo diario de pantalla ($x$, horas) y las horas de sueño ($y$) es $r = -0{,}7$. Halla $R^2$ e interprétalo.

Eleva al cuadrado el coeficiente de correlación: $R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49$ = $R^2 = 0{,}49$

Escríbelo como porcentaje: $0{,}49 = 49\,\%$ = 49 %

Interpreta en el contexto: El 49 % de la variación de las horas de sueño se explica por la relación lineal con el tiempo de pantalla. El 51 % restante se debe a otros factores. = 49 % explicado, 51 % sin explicar

Answer: $R^2 = 0{,}49$: el 49 % de la variación del sueño se explica por la relación lineal con el tiempo de pantalla. Al elevar al cuadrado desaparece el signo menos, por eso $R^2$ nunca es negativo.

R² a partir de las sumas de cuadrados

Una heladería modela las ventas diarias con una recta de regresión sobre la temperatura. La variación total de las ventas es $SS_{\text{tot}} = 80$ y la suma de los cuadrados de los residuos es $SS_{\text{res}} = 12$. Halla $R^2$.

Halla la parte que no se explica: $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{12}{80} = 0{,}15$ = Queda un 15 %

Réstalo de 1: $R^2 = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = $R^2 = 0{,}85$

Interpreta: El 85 % de la variación de las ventas diarias se explica por la relación lineal con la temperatura = 85 % explicado

Answer: $R^2 = 1 - \frac{12}{80} = 0{,}85$, así que la recta explica el 85 % de la variación de las ventas de helados.

De R² de vuelta a r

Una regresión del precio de un coche usado ($y$, miles de dólares) sobre su antigüedad ($x$, años) da $\hat{y} = -1{,}5x + 20$ y $R^2 = 0{,}64$. Halla el coeficiente de correlación $r$.

Calcula la raíz cuadrada de $R^2$: $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ = $|r| = 0{,}8$

Elige el signo según la pendiente: La pendiente $-1{,}5$ es negativa: los coches más antiguos son más baratos, así que la correlación es negativa = $r$ es negativo

Escribe $r$: $r = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8$ = $r = -0{,}8$

Answer: $r = -0{,}8$. La raíz cuadrada da $0{,}8$ y la pendiente negativa indica el signo. $r$ siempre tiene el mismo signo que la pendiente.

Calcular R² a partir de los datos

Cinco estudiantes anotaron sus horas de estudio ($x$) y su nota ($y$): $(1, 50)$, $(2, 60)$, $(3, 80)$, $(4, 70)$, $(5, 90)$. La recta de regresión es $\hat{y} = 9x + 43$. Calcula $R^2$.

Halla la media de $y$ y $SS_{\text{tot}}$: $\bar{y} = \frac{50+60+80+70+90}{5} = 70$ $SS_{\text{tot}} = (-20)^2 + (-10)^2 + 10^2 + 0^2 + 20^2 = 400 + 100 + 100 + 0 + 400$ = $SS_{\text{tot}} = 1000$

Halla los valores predichos y los residuos: $\hat{y} = 52, 61, 70, 79, 88$ Residuos $y - \hat{y}$: $-2, -1, 10, -9, 2$ = Residuos: $-2, -1, 10, -9, 2$

Halla $SS_{\text{res}}$: $4 + 1 + 100 + 81 + 4$ = $SS_{\text{res}} = 190$

Calcula $R^2$: $R^2 = 1 - \frac{190}{1000} = 1 - 0{,}19 = 0{,}81$ = $R^2 = 0{,}81$

Answer: $R^2 = 0{,}81$: el 81 % de la variación de las notas se explica por la relación lineal con las horas de estudio. Comprobación: $r = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$, igual que en el primer diagrama de dispersión de esta lección.

R² alto, modelo equivocado

Los datos $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$, $(4, 16)$, $(5, 25)$ tienen la recta de regresión $\hat{y} = 6x - 7$. Calcula $R^2$ y decide si una recta es un buen modelo.

Halla $SS_{\text{tot}}$: $\bar{y} = 11$, así que $SS_{\text{tot}} = 100 + 49 + 4 + 25 + 196$ = $SS_{\text{tot}} = 374$

Halla los residuos y $SS_{\text{res}}$: $\hat{y} = -1, 5, 11, 17, 23$, residuos $2, -1, -2, -1, 2$ $SS_{\text{res}} = 4 + 1 + 4 + 1 + 4$ = $SS_{\text{res}} = 14$

Calcula $R^2$: $R^2 = 1 - \frac{14}{374} \approx 0{,}96$ = $R^2 \approx 0{,}96$

Observa el patrón de los residuos: Signos: $+, -, -, -, +$. Los residuos forman una U en lugar de repartirse al azar = Los datos son curvos

Answer: $R^2 \approx 0{,}96$ es muy alto, pero los residuos en forma de U muestran que los datos siguen una curva ($y = x^2$). Un $R^2$ alto por sí solo no demuestra que el modelo lineal sea correcto: revisa siempre los residuos.

Mistake: Usar $r$ como porcentaje: "$r = 0{,}5$, así que se explica el 50 % de la variación"

Why: El porcentaje de variación explicada sale de $R^2$, no de $r$. Primero hay que elevar al cuadrado.

Correct: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$, así que solo se explica el 25 % de la variación.

Mistake: Olvidar el signo al pasar de $R^2$ a $r$

Why: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ siempre es positivo, pero $r$ puede ser negativo. $R^2$ oculta el sentido de la relación.

Correct: Toma el signo de la pendiente: si la pendiente es negativa, $r = -\sqrt{R^2}$, por ejemplo $r = -0{,}7$.

Mistake: Creer que un $R^2$ alto demuestra que $x$ causa $y$

Why: $R^2$ solo mide lo bien que una recta se ajusta a los datos. Una variable de confusión puede influir a la vez en $x$ y en $y$.

Correct: Di "el 81 % de la variación de $y$ se explica por la relación lineal con $x$", nunca "$x$ causa el 81 % de $y$". Para la causalidad hace falta un experimento controlado.

Mistake: Creer que un $R^2$ alto significa que una recta es el modelo correcto

Why: Unos datos curvos también pueden dar $R^2 = 0{,}96$. $R^2$ no muestra los patrones de los residuos.

Correct: Mira siempre el gráfico de residuos. Una dispersión al azar apoya la recta; una U u otro patrón indica que otro modelo se ajusta mejor.

Análisis deportivo

Los entrenadores comparan los datos de entrenamiento con los resultados en competición para ver qué parte de la diferencia de rendimiento está relacionada con el entrenamiento.

Si la correlación entre las horas de entrenamiento semanales y el tiempo en 100 m es $r = -0{,}85$, entonces $R^2 = 0{,}7225$: cerca del 72 % de la variación de los tiempos se explica por la relación lineal con las horas de entrenamiento.

Precios de la vivienda

Los analistas inmobiliarios construyen modelos de regresión para el precio de las viviendas y usan $R^2$ para juzgar si un modelo es lo bastante bueno para hacer tasaciones.

Un modelo del precio sobre la superficie con $R^2 = 0{,}70$ explica el 70 % de la variación de los precios; el 30 % restante se debe a la ubicación, el estado y otros factores.

Medicina y dosis

En los estudios clínicos, los investigadores comprueban con qué fuerza la dosis de un medicamento está relacionada con el cambio de una medida como la tensión arterial.

Si una dosis mayor va con una tensión más baja (pendiente negativa) y $R^2 = 0{,}36$, entonces $r = -0{,}6$: una relación lineal negativa moderada.

Q: ¿Puede R² ser negativo?

A: No para una recta de regresión por mínimos cuadrados como las de esta lección: $SS_{\text{res}}$ nunca es mayor que $SS_{\text{tot}}$, así que $R^2$ se queda entre $0$ y $1$. Elevar $r$ al cuadrado también da siempre un número igual a $0$ o mayor.

Q: ¿Qué se considera un buen R²?

A: Depende del campo. En experimentos de física son habituales valores por encima de $0{,}95$. Cuando se estudian personas (conducta, salud, economía), un $R^2$ de $0{,}30$ ya puede ser útil, porque a las personas les influyen muchos factores.

Q: ¿R² es siempre igual a r²?

A: Sí en la regresión lineal simple con una sola variable explicativa, que es lo que trata esta lección. Con varias variables explicativas no hay un único $r$, pero $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ sigue funcionando.

Q: ¿Por qué R² no dice nada sobre el sentido de la relación?

A: Porque al elevar al cuadrado se pierde el signo: $r = 0{,}8$ y $r = -0{,}8$ dan los dos $R^2 = 0{,}64$. Para saber el sentido, mira la pendiente de la recta de regresión o el propio $r$.