Calcular un residuo

La recta de regresión entre horas de estudio ($x$) y nota del examen ($y$) es $\hat{y} = 5x + 50$. Mía estudió $4$ horas y sacó $72$. Calcula su residuo.

Calcula la nota predicha: $\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50$ = $\hat{y} = 70$

Resta: observado menos predicho: $e = y - \hat{y} = 72 - 70$ = $e = 2$

Interpreta el signo: $e > 0$, así que el punto de Mía está por encima de la recta = Sacó 2 puntos más de lo predicho

Answer: El residuo de Mía es $2$: sacó 2 puntos más de lo que predecía la recta, así que su punto está por encima de la recta.

Un residuo negativo

Con la misma recta $\hat{y} = 5x + 50$, Leo estudió $3$ horas y sacó $62$. Calcula su residuo y explica qué significa.

Calcula la nota predicha: $\hat{y} = 5(3) + 50 = 15 + 50$ = $\hat{y} = 65$

Resta: observado menos predicho: $e = 62 - 65$ = $e = -3$

Interpreta el signo: $e < 0$, así que el punto de Leo está por debajo de la recta = La recta sobrestimó su nota en 3

Answer: El residuo de Leo es $-3$: su punto está 3 puntos por debajo de la recta, así que la recta predijo demasiado para él.

Una tabla de residuos

Seis estudiantes dieron estos datos (horas de estudio, nota): $(1, 57)$, $(2, 58)$, $(3, 62)$, $(4, 72)$, $(5, 78)$, $(6, 78)$. La recta de mínimos cuadrados es $\hat{y} = 5x + 50$. Haz una tabla de los residuos y súmalos.

Calcula el valor predicho para cada x: $\hat{y} = 55, 60, 65, 70, 75, 80$ = Una predicción por estudiante

Resta cada predicción de la nota observada: | $x$ | $y$ | $\hat{y}$ | $e = y - \hat{y}$ | |---|---|---|---| | 1 | 57 | 55 | 2 | | 2 | 58 | 60 | -2 | | 3 | 62 | 65 | -3 | | 4 | 72 | 70 | 2 | | 5 | 78 | 75 | 3 | | 6 | 78 | 80 | -2 | = Residuos: $2, -2, -3, 2, 3, -2$

Suma los residuos: $2 + (-2) + (-3) + 2 + 3 + (-2)$ = $\sum e = 0$

Answer: Los residuos son $2, -2, -3, 2, 3, -2$ y suman $0$. Eso pasa siempre con la recta de mínimos cuadrados: los errores positivos y negativos se compensan.

Suma de los cuadrados de los residuos

Para los mismos seis estudiantes, compara la recta de mínimos cuadrados $\hat{y} = 5x + 50$ con la recta $\hat{y} = 5x + 51$ usando la suma de los cuadrados de los residuos (SCR).

Eleva al cuadrado los residuos de la recta de mínimos cuadrados: $2^2 + (-2)^2 + (-3)^2 + 2^2 + 3^2 + (-2)^2 = 4 + 4 + 9 + 4 + 9 + 4$ = $\text{SCR} = 34$

Halla los residuos de la otra recta: Predicciones $56, 61, 66, 71, 76, 81$, así que residuos $1, -3, -4, 1, 2, -3$ = Su suma es $-6$, no $0$

Elévalos al cuadrado y súmalos: $1 + 9 + 16 + 1 + 4 + 9$ = $\text{SCR} = 40$

Compara: $34 < 40$ = $\hat{y} = 5x + 50$ se ajusta mejor

Answer: La recta de mínimos cuadrados tiene $\text{SCR} = 34$ y la otra recta $40$. Ninguna recta puede bajar de $34$ con estos datos: eso es exactamente lo que significa "mínimos cuadrados".

Leer un gráfico de residuos

Una aplicación tuvo estas descargas (en miles) en los meses $1$ a $6$: $20, 24, 31, 41, 54, 70$. La recta de mínimos cuadrados es $\hat{y} = 10x + 5$. Calcula los residuos y decide si una recta es un buen modelo.

Calcula las predicciones: $\hat{y} = 15, 25, 35, 45, 55, 65$ = Una predicción por mes

Calcula los residuos: $20 - 15, 24 - 25, 31 - 35, 41 - 45, 54 - 55, 70 - 65$ = $5, -1, -4, -4, -1, 5$

Mira el patrón del gráfico de residuos: Positivos en los dos extremos, negativos en el centro = Una curva en forma de U

Saca la conclusión: Un patrón curvo significa que los datos se van curvando y se alejan de la recta = Una recta no es un buen modelo

Answer: Los residuos $5, -1, -4, -4, -1, 5$ forman una U. Las descargas crecen cada vez más rápido, así que un modelo curvo se ajustaría mejor que una recta, aunque los residuos sigan sumando $0$.

Mistake: Calcular predicho menos observado ($\hat{y} - y$)

Why: Así se invierten todos los signos: los puntos por encima de la recta tendrían residuos negativos y los de abajo, positivos.

Correct: Usa siempre observado menos predicho: $e = y - \hat{y}$. Positivo significa por encima de la recta.

Mistake: Juzgar una recta por la simple suma de sus residuos

Why: Para la recta de mínimos cuadrados la suma siempre es $0$, aunque la recta se ajuste mal, porque los residuos positivos y negativos se compensan.

Correct: Eleva primero los residuos al cuadrado y súmalos (SCR), o mira el gráfico de residuos.

Mistake: Creer que un gráfico de residuos curvo está bien porque los puntos están cerca de cero en promedio

Why: Una curva clara (en U, en forma de colina) significa que los datos siguen una curvatura que una recta no puede seguir.

Correct: Un modelo lineal solo se ajusta cuando el gráfico de residuos parece una dispersión aleatoria alrededor de $0$, sin ningún patrón.

Mistake: Olvidar la unidad o el tamaño de un residuo

Why: Un residuo de $-3$ en una nota significa 3 puntos, no un 3 %. Su tamaño solo tiene sentido en la unidad de $y$.

Correct: Dilo en contexto: "La recta sobrestimó la nota de Leo en 3 puntos."

Tiempos de entrega estimados

Las aplicaciones de reparto predicen el tiempo de un pedido a partir de la distancia. Después de cada entrega, el residuo muestra si la estimación se quedó corta o larga.

Con $\hat{y} = 2x + 10$ minutos para $x$ km, a un pedido de 5 km se le predicen $20$ minutos. Si tardó $18$ minutos, el residuo es $18 - 20 = -2$.

Experimentos de crecimiento de plantas

Los biólogos ajustan una recta a la altura de las plantas a lo largo del tiempo. A una planta con un residuo negativo grande quizá le falte luz o agua.

Con $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ cm después de $x$ semanas, se espera que una planta mida $10$ cm a las 4 semanas.

Modelos en ciencias del deporte

Los entrenadores predicen la altura de salto de un deportista a partir de datos de entrenamiento y juzgan el modelo por su suma de los cuadrados de los residuos: cuanto más pequeña, mejor.

Si un modelo falla por $3$ cm y por $-3$ cm con dos deportistas, los residuos suman $0$, pero los cuadrados de los residuos suman $9 + 9 = 18$.

Q: ¿Por qué se llama residuo?

A: "Residuo" significa "lo que sobra". Es la parte de $y$ que la recta no explica: el valor que queda cuando le quitas la predicción.

Q: ¿Por qué elevamos los residuos al cuadrado en lugar de sumarlos sin más?

A: Los residuos simples se compensan (para la recta de mínimos cuadrados su suma siempre es $0$). Al elevarlos al cuadrado, cada error cuenta como positivo y los errores grandes pesan mucho más.

Q: ¿Un residuo grande es un error?

A: No necesariamente. Solo significa que el punto no sigue bien el patrón. Revisa si hay un error al escribir los datos, pero los datos reales también pueden tener casos raros.

Q: ¿En qué se diferencia un gráfico de residuos de un diagrama de dispersión?

A: Un diagrama de dispersión muestra $y$ frente a $x$. Un gráfico de residuos muestra el residuo $e$ frente a $x$, así que la recta de regresión se convierte en la recta horizontal $e = 0$ y cualquier patrón que la recta no captó se ve fácilmente.