Un seno desplazado a la derecha

Describe la gráfica de $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ comparada con $y = \sin(x)$. ¿Dónde empieza el primer ciclo y dónde está su máximo?

Compara con $y = \sin(B(x - C))$: $x - \frac{\pi}{4}$ ya tiene la forma $1 \cdot (x - C)$ = $B = 1$, $C = \frac{\pi}{4}$

Lee el sentido: $C$ es positivo = Desplazamiento de $\frac{\pi}{4}$ a la derecha

Halla el inicio del ciclo: El argumento vale $0$ cuando $x - \frac{\pi}{4} = 0$ = El ciclo empieza en $x = \frac{\pi}{4}$

Mueve el máximo: $\sin(x)$ tiene su máximo en $\frac{\pi}{2}$, así que suma $\frac{\pi}{4}$: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$ = Máximo en $x = \frac{3\pi}{4}$

Answer: La gráfica es $y = \sin(x)$ desplazada $\frac{\pi}{4}$ a la derecha. El primer ciclo empieza en $x = \frac{\pi}{4}$ y su máximo $1$ está en $x = \frac{3\pi}{4}$.

Un signo más significa izquierda

Halla el desfase de $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ y la nueva posición del máximo que $\cos(x)$ tiene en $x = 0$.

Escribe el más como un menos: $x + \frac{\pi}{3} = x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{3}$

Lee el sentido: $C$ es negativo = Desplazamiento de $\frac{\pi}{3}$ a la izquierda

Mueve el máximo: $0 + \left(-\frac{\pi}{3}\right)$ = Máximo en $x = -\frac{\pi}{3}$

Answer: El desfase es $-\frac{\pi}{3}$: el coseno se mueve $\frac{\pi}{3}$ a la izquierda y su máximo está ahora en $x = -\frac{\pi}{3}$.

Saca factor común B antes de leer el desplazamiento

Halla el desfase y el período de $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$. ¿Dónde empieza y dónde termina el primer ciclo?

Saca factor común $B = 2$: $2x - \frac{\pi}{2} = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ = $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

Lee el desplazamiento: $C = \frac{\pi}{4}$, positivo = $\frac{\pi}{4}$ a la derecha (no $\frac{\pi}{2}$)

Halla el período: $\frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2}$ = Período $= \pi$

Inicio y fin de un ciclo: Empieza en $C = \frac{\pi}{4}$, termina en $\frac{\pi}{4} + \pi$ = De $x = \frac{\pi}{4}$ a $x = \frac{5\pi}{4}$

Answer: Desfase de $\frac{\pi}{4}$ a la derecha, período $\pi$. Un ciclo va de $x = \frac{\pi}{4}$ a $x = \frac{5\pi}{4}$.

Un coseno con B y un signo más

Halla el desfase y el período de $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Saca factor común $B = 3$: $3x + \frac{\pi}{2} = 3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, porque $\frac{\pi}{2} \div 3 = \frac{\pi}{6}$ = $y = \cos\left(3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$

Escríbelo con un menos: $x + \frac{\pi}{6} = x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{6}$

Lee el sentido: $C$ es negativo = $\frac{\pi}{6}$ a la izquierda

Halla el período: $\frac{2\pi}{3}$ = Período $= \frac{2\pi}{3}$

Answer: La gráfica es $y = \cos(3x)$ desplazada $\frac{\pi}{6}$ a la izquierda, con período $\frac{2\pi}{3}$.

El coseno como seno desplazado

Halla un valor de $C$ con $-\pi \le C \le \pi$ tal que $\sin(x - C) = \cos(x)$ para todo $x$.

Compara los máximos: $\cos(x)$ tiene su máximo en $x = 0$, $\sin(x)$ en $x = \frac{\pi}{2}$ = El pico del seno debe ir de $\frac{\pi}{2}$ a $0$

Halla el tamaño y el sentido: De $\frac{\pi}{2}$ a $0$ hay $\frac{\pi}{2}$ hacia la izquierda = $C = -\frac{\pi}{2}$

Escribe la ecuación: $\sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ = $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Comprueba un punto: En $x = 0$: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 = \cos(0)$ = Coincide

Answer: $C = -\frac{\pi}{2}$, así que $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Desplazar el seno $\frac{3\pi}{2}$ a la derecha también funciona, porque la diferencia es exactamente un período $2\pi$.

Mistake: Leer $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ como un desplazamiento a la izquierda

Why: El signo menos parece apuntar a la izquierda, como en la recta numérica. Pero la curva alcanza cada valor más tarde, cuando $x - \frac{\pi}{3}$ vale lo que antes valía $x$.

Correct: Un menos dentro del paréntesis significa derecha: $\sin(x - C)$ se mueve $C$ a la derecha y $\sin(x + C)$ se mueve $C$ a la izquierda.

Mistake: Decir que el desplazamiento de $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ es $\frac{\pi}{2}$

Why: El número $\frac{\pi}{2}$ se resta de $2x$, no de $x$. El desplazamiento corresponde solo a $x$.

Correct: Saca factor común $B$: $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$. El desplazamiento es $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ a la derecha.

Mistake: Pensar que un desfase cambia el período o la altura

Why: Mover una gráfica de lado no la estira. Solo $B$ cambia el período y solo $A$ cambia la amplitud.

Correct: Después de un desfase la curva tiene la misma forma, el mismo período y la misma amplitud. Solo cambia el lugar donde empieza cada ciclo.

Mistake: Pensar que $y = \sin(x - 2\pi)$ es una gráfica distinta de $y = \sin(x)$

Why: El seno se repite cada $2\pi$, así que moverlo un período completo coloca cada onda exactamente sobre la siguiente.

Correct: Desplazamientos que se diferencian en un período completo dan la misma gráfica: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ y $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$.

Predecir la pleamar

En los puertos se modela el nivel del agua con un seno desplazado. El desfase indica cuándo el agua pasa por el nivel medio, y a partir de ahí se halla la pleamar.

Si el nivel del agua es $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ metros sobre el nivel medio, con $t$ en horas después de medianoche, el agua sube por el nivel medio en $t = 2$, a las 2:00.

Corriente alterna

Las redes eléctricas de Europa funcionan a 50 Hz. Dos tensiones con la misma frecuencia pueden estar desfasadas, y los ingenieros miden esa diferencia como un desfase en segundos.

La tensión $V_1 = \sin(100\pi t)$ tiene período $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ de segundo. Una segunda tensión $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ alcanza cada máximo un poco más tarde.

Auriculares con cancelación de ruido

Un micrófono capta el ruido y los auriculares reproducen la misma onda desplazada medio período. Donde el ruido sube, la copia baja, y las dos se anulan.

Para el ruido $y = \sin(x)$ la copia es $y = \sin(x - \pi)$, que es igual a $-\sin(x)$. Su suma es $0$ en todas partes.

Q: ¿Por qué se llama desfase?

A: La fase es la posición dentro de un ciclo (inicio, pico, cero, valle). Un desfase mueve cada punto del ciclo la misma cantidad, así que toda la onda empieza antes o después.

Q: ¿El desfase de $\sin(2x - \pi)$ es $\pi$ o $\frac{\pi}{2}$?

A: Es $\frac{\pi}{2}$ a la derecha. Saca factor común $2$: $\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Algunos libros llaman a $\pi$ la fase inicial, pero la gráfica se mueve $\frac{\pi}{2}$ sobre el eje $x$.

Q: ¿Puede una gráfica tener más de un desfase correcto?

A: Sí. Sumar o restar un período completo da la misma gráfica, así que $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ y $\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)$ son idénticas. Normalmente se da el desplazamiento de menor tamaño.

Q: ¿Importa el orden entre estirar y desplazar?

A: Sí. $\sin(2(x - 1))$ y $\sin(2x - 1)$ son distintas: la primera está desplazada $1$ a la derecha y la segunda solo $\frac{1}{2}$. Escribir la función como $\sin(B(x - C))$ evita la confusión.